2023年湖南省常德市汉寿县百禄桥联校高三数学理联考试题含解析

2023年湖南省常德市汉寿县百禄桥联校高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆半径为1，则该几何体体积为 (     )   A．        B． C．         D． 参考答案： A 2. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（   ） A．2                B．3                 C．10             D．15 参考答案： C 正方形面积为25，由几何概型知阴影部分的面积为：，故选C. 3. 2017年国庆期间，全国接待国内游客7.05亿人次，其中某30个景区日均实际接待人数与最大接待人数比值依次记为，若该比值超过1，则称该景区“爆满”，否则称为“不爆满”，则如图所示的程序框图的功能是(    ) A.求30个景区的爆满率 B.求30个景区的不爆满率 C.求30个景区的爆满数 D.求30个景区的不爆满数 参考答案： B 4. 已知数列中，，，为其前项和，则的值为（  ） A.57                B.61            C.62                  D.63 参考答案： A. 试题分析：∵，∴是首项为，公比为的等比数列， ∴，∴，∴，故选A. 考点：数列的通项公式. 5. 若向量则=   A．（－2，－4）    B．（3．4）  C．（6，10）    D．（－6．－10） 参考答案： 6. 设函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R）在区间（0，2）上有两个极值点，则a的取值范围是（　　） A． B． C．     D． 参考答案： D 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】方法一：求导f′（x）=lnx﹣2ax+1，由关于x的方程a=在区间（0，+∞）由两个不相等的实根，构造辅助函数，根据函数单调性即可求得a取值范围； 方法二：由题意，关于x的方程2ax=lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根，则y=2ax与y=lnx+1有两个交点，根据导数的几何意义，即可求得a的取值范围． 【解答】解：方法一：f（x）=x（lnx﹣ax），求导f′（x）=lnx﹣2ax+1， 由题意，关于x的方程a=在区间（0，+∞）由两个不相等的实根， 令h（x）=，h′（x）=﹣， 当x∈（0，1）时，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）单调递减， 当x→+∞时，h（x）→0， 由图象可知：函数f（x）=x（lnx﹣ax），在（0，2）上由两个极值， 只需＜a＜， 故D． 方法二：f（x）=x（lnx﹣ax），求导f′（x）=lnx﹣2ax+1， 由题意，关于x的方程2ax=lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根， 则y=2ax与y=lnx+1有两个交点， 由直线y=lnx+1，求导y′=， 设切点（x0，y0），=，解得：x0=1， ∴切线的斜率k=1， 则2a=1，a=， 则当x=2，则直线斜率k=， 则a=， ∴a的取值范围（，）， 故选D． 7. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（    ） A．4        B． 8   C． 16     D．20 参考答案： C 略 8. 函数 ,若在区间上是单调函数,且，则的值为（    ） A．         B．或2       C.          D．1或 参考答案： B 因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，是其相邻的对称中心，所以，∴.   9. 已知函数f(x)=，若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（　　） A．[0，]   B．(0，) C．[0，] D．(0，) 参考答案： D 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点，数形结合可得答案． 【解答】解：函数的图象如下图所示： 若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解， 则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点， 当直线y=x+m经过原点时，m=0， 由y=﹣x2+2x的导数y′=﹣2x+2=得：x=， 当直线y=x+m与y=﹣x2+2x相切时，切点坐标为：（，）， 当直线y=x+m经过（，）时，m=， 故m∈（0，）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档． 　 10. 集合A＝{－1,0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{4}                  B．{4，－1} C．{4,5}                 D．{－1,0} 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式的解集是________________. 参考答案： 12. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2,2)，在直线的方程是          ． 参考答案：   13. 已知向量，满足=(1，)，||=1，且+λ=，则λ=　  　． 参考答案： ±2   【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】由题意和向量的坐标运算求出的坐标，由向量模的坐标运算列出方程求出λ的值． 【解答】解：因为，， 所以==， 又，则， 解得λ=±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，以及向量模的坐标运算，属于基础题． 　 14. 设、，且，若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是________________． 参考答案： 因为函数是奇函数，所以，即，所以，即，所以，所以，，即，由得，所以，所以，所以，即，所以的取值范围是。 15. 不等式的解集为____________． 参考答案： 【知识点】不等式的解法.E4  【答案解析】｛x|x<-1或x>2｝解析：原不等式等价于设，则在R上单调增.所以，原不等式等价于 所以原不等式解集为｛x|x<-1或x>2｝ 【思路点拨】利用函数的单调性转化为等价命题，得到结果。 16. 已知点A（1，﹣2）若向量与=（2，3）同向，｜｜=，则点B的坐标为 ． 参考答案： （3，1） 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可得出． 【解答】解：设B（x，y）， =（x﹣1，y+2）． ∵向量与=（2，3）同向， ∴3（x﹣1）﹣2（y+2）=0， ∵｜｜=， ∴=． 化为（x﹣1）2+（y+2）2=13， 联立， 解得，． 当时，向量与=（2，3）反向， ∴B（3，1）． 故答案为：（3，1）． 【点评】本题考查了向量共线定理、模的计算公式，属于基础题． 17. 已知       参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，多面体的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点. （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：平面PDC⊥平面PAD. (3)求   参考答案： 证明：由多面体的三视图知，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等腰三角形，， 且平面平面.……3分 (1)连结，则是的中点， 在△中，,    且平面，平面，  ∴∥平面  ………6分 (2) 因为平面⊥平面， 平面∩平面，CD 平面ABCD，  又⊥，所以，⊥平面， 又CD平面PCD， 所以  平面⊥平面  ………………9分 (3) 由（1）知点P到平面ABCD的距离为1， 则(体积单位) ………………12分 19. （本小题满分13分）已知函数在处有极大值7．       (Ⅰ)求的解析式； (Ⅱ)求的单调区间； (Ⅲ)求在=1处的切线方程． 参考答案： 解：(Ⅰ)，       …………1分     …………2分 ,   …………3分   ∴．     …………4分     (Ⅱ)∵，由得 解得或    …………5分       由得，解得 …………6分      ∴的单调增区间为，  …………7分      的单调减区间为．  …………8分 (Ⅲ) ∵又∵f(1)=-13     …………9分    ∴切线方程为 20. （本题满分13分）已知直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切. （Ⅰ）求直线在轴上截距的取值范围； （Ⅱ）设是抛物线的焦点，且，求直线的方程. 参考答案： （Ⅰ）解：设直线的方程为.由直线与圆相切， 得 ，化简得. 　　　　　　　　　　　　　　　　　（2分） 直线的方程代入，消去，得 .（*） 　　　　　（3分） 由直线与抛物线相交于，两点，得，即 . 将代入上式，得.解得，或.　　　　　　　　　　（5分） 注意到，从而有 ，或. 　　　　　　　　　　　　　　（6分） （Ⅱ）解：设，.由（*）得，.      所以 . 将，代入上式，得 . 　　 　　（10分） 将，代入上式，令，得. 所以 ，即 .  解得 ， (舍去).      故 .   所以直线的方程为，或.          　　　  （13分） 21. 设A，B分别是x轴，y轴上的两个动点，点R在直线AB上，且，。 （1）求点R的轨迹C的方程； （2）设点M(－2,0)，N(2,0)，过点F(1,0)的直线与曲线C交于P，Q两点（P在x轴上方），若MP与NQ的斜率分别为k1，k2，试判断是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由. 参考答案： （1）设，， 由知，………………………………………1分 从而，即，① ……………………………………2分 由知，② 联立①②可得，即为点的轨迹的方程；……………………………5分 （2）设直线方程为，且， 联立可得， 从而，，…………………………………………8分 于是，             ………………………………………………10分 又， 故为定值。                     ………………………………………………12分 22. （2016?晋城二模）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆的右焦点F（c，0），椭圆的右顶点为A，上顶点为B，原点到直线AB的距离为． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）判断在x轴上是否存在异于F的一点G，满足过点G且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，N、F、P三点共线，若存在，求出点G坐标；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（I）运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）在x轴上假设存在异于F的一点G，设为（n，0），设直线l的方程为y=k（x﹣n），代入椭圆方程x2+2y2=2，运用韦达定理，以及三点共线的条件：斜率相等，化简整理，可得n=2，进而判断存在G（2，0）． 【解答】解：（I）由题意可得e==， 直线AB的方程为bx+ay=ab， 由题意可得