《走向清华北大》高考总复习 三角恒等变换

第十九讲第十九讲三角恒等变换三角恒等变换回归课本回归课本1.三角恒等变换主要包括三角恒等变换主要包括角的角的变换变换 函数名称函数名称的变换的变换 常数常数的变换的变换 幂幂的变换和的变换和式子结式子结构构的变换的变换.3.万能公式万能公式4.积化和差公式积化和差公式(1)sincos=sin(+)+sin(-);(2)cossin=sin(+)-sin(-);(3)coscos=cos(+)+cos(-);(4)sinsin=-cos(+)-cos(-).5.和差化积公式和差化积公式(1)sin+sin=2sin(2)sin-sin=2cos(3)cos+cos=2cos(4)cos-cos=-2sin考点陪练考点陪练答案答案:B答案答案:A答案答案:C4.若若f(sinx)=3-cos2x,则则f(cosx)等于等于()A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析解析:f(sinx)=2+2sin2x,f(x)=2+2x2.f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.答案答案:C答案答案:2类型一类型一三角函数式的化简三角函数式的化简解题准备解题准备:化简三角函数式常有两种思路化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换一是角的变换(即将即将多种形式的角尽量统一多种形式的角尽量统一 减少角的个数减少角的个数);二是三角函数名称二是三角函数名称的变换的变换(即尽量减少即尽量减少 统一函数名称统一函数名称,如如“切化弦切化弦”).具体问具体问题中可双管齐下题中可双管齐下,整体变换整体变换.反思感悟反思感悟三角函数式的化简原则三角函数式的化简原则:尽量使函数种类最少尽量使函数种类最少,次数次数相对较低相对较低,项数最少项数最少,尽量使分母不含三角函数尽量使分母不含三角函数,尽量去掉根尽量去掉根号或减少根号的层次号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值能求出具体值的应求出其值.类型二类型二三角函数式的求值三角函数式的求值解题准备解题准备:三角函数式的求值三角函数式的求值三角函数的求值主要有三种类型三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值即给角求值 给值求值给值求值 给值给值求角求角.给角求值的关键是正确地选用公式给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三以便把非特殊角的三角函数相约或相消角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数从而化为特殊角的三角函数.给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数的差异的差异,一般可以适当变换已知式一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值求得另外函数式的值,以以备应用备应用.同时也要注意变换欲求式同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函便于将已知式求得的函数值代入数值代入,从而达到解题的目的从而达到解题的目的.给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次其次判断该角在对应区间的单调性判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的从而达到解题的目的.反思感悟反思感悟给值求值问题是给出某个角给值求值问题是给出某个角(或两个角或两个角)的三角函的三角函数数(式式)的值的值,要求其他角的三角函数值要求其他角的三角函数值.解决此类问题的关键解决此类问题的关键是利用角的变换是利用角的变换,把待求角用已知角表示出来把待求角用已知角表示出来,利用两角和利用两角和 差或倍角公式把待求角的三角函数值求出差或倍角公式把待求角的三角函数值求出,如果条件所给的如果条件所给的式子比较复杂式子比较复杂,则需先将其化简则需先将其化简.在三角函数求值过程中在三角函数求值过程中,同同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数公式是常用工角三角函数关系式及两角和与差的三角函数公式是常用工具具.类型三类型三已知三角函数值求角已知三角函数值求角解题准备解题准备:已知三角函数值求角已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤一般可分以下三个步骤:第一第一,定角的范围定角的范围,很多时候我们需要根据题中给出的三角函数值很多时候我们需要根据题中给出的三角函数值或中间结果中的三角函数值进一步缩小角的范围或中间结果中的三角函数值进一步缩小角的范围;第二第二,求求角的某一个三角函数值角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内要求该三角函数应在角的范围内严格单调严格单调);第三第三,根据角的范围写出所求的角根据角的范围写出所求的角.其中在第二步其中在第二步中中,具体选用哪个三角函数具体选用哪个三角函数,一般可由条件中的函数确定一般可由条件中的函数确定,一一般已知正切函数值般已知正切函数值,选正切函数选正切函数;已知正已知正 余弦函数值余弦函数值,选正选正 余弦函数余弦函数;若角的范围是若角的范围是 正正 余弦函数均可余弦函数均可;若角的范围是若角的范围是(0,),一般选余弦函数一般选余弦函数;若角的范围是若角的范围是 则一般选正弦则一般选正弦函数等函数等.答案答案A类型四类型四三角函数式的证明三角函数式的证明解题准备解题准备:三角恒等式的证明主要有两种类型三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与绝对恒等式与条件恒等式条件恒等式.证明绝对恒等式要根据等式两边的特征证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简化繁为简,左右归左右归一一,变更论证变更论证,通过三角恒等式变换通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同使等式的两边化异为同.条件恒等式的证明则要认真观察条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等比较已知条件与求证等式之间的联系式之间的联系,选择适当途径对条件等式进行变形选择适当途径对条件等式进行变形,直到得直到得到所证等式到所证等式,或者将欲证等式及条件进行变式或者将欲证等式及条件进行变式,创造机会代创造机会代入条件入条件,最终推导出所证等式最终推导出所证等式.错源一错源一合理运用公式的能力差合理运用公式的能力差错解错解由由sin+cos=得得(sin+cos)2=1+sin2=所以所以sin2=.因为因为0,所以所以022.由由sin22+cos22=1得得cos2=故选故选C.剖析剖析由于选择了由于选择了sin22+cos22=1,求求cos2的值时符号不能确的值时符号不能确定定,造成解题错误造成解题错误.正解正解由由sin+cos=得得(sin+cos)2=1+sin2=所以所以sin2=.因为因为sin2=2sincos0,且且0,所以所以 0.因为因为(sin-cos)2=1-sin2=,所以所以sin-cos=由由得得:sin2-cos2=,即即cos2=cos2-sin2=故选故选B.答案答案B错源二错源二忽视角的范围忽视角的范围【典例典例2】若若、是锐角是锐角,且且sin-sin=-,cos-cos=,求求tan(-).技法技法三角恒等变换的六种意识三角恒等变换的六种意识一一 降幂意识降幂意识主要针对主要针对sinx,cosx出现高次幂的情况出现高次幂的情况,常常通过配方或者利用常常通过配方或者利用倍角公式进行求解倍角公式进行求解.【典例典例1】当当+=30时时,求求sin2+cos2+cossin的值的值.二二 统一意识统一意识三角变换的实质归结到一点就是化异为同三角变换的实质归结到一点就是化异为同.解三角题时解三角题时,应敏应敏锐地观察题目中角锐地观察题目中角 名称名称 运算等之间的差异运算等之间的差异,然后设法消除然后设法消除差异差异 实现统一实现统一.【典例典例2】已知已知sin(2+)+2sin=0,且且coscos(+)0,求证求证:tan=3tan(+).证明证明因为因为2+=+,=+-,所以所以sin(+)+2sin(+-)=0,即即sin(+)cos+cos(+)sin+2sin(+)cos-2cos(+)sin=0,所以所以3sin(+)cos=cos(+)sin,又因为又因为coscos(+)0,可两边同时除以可两边同时除以coscos(+)即可得证即可得证.三三 整体意识整体意识如果所涉及的三角问题中已知式和待求式的结构类似如果所涉及的三角问题中已知式和待求式的结构类似,则可用则可用整体代换整体代换,即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换.【典例典例3】化简化简:cos2(+15)+cos2(-15)-cos2.解题切入点解题切入点由于观察到此式中的角出现由于观察到此式中的角出现+15,-15与与2,要要达到角的统一达到角的统一,需将角需将角+15,-15向角向角2进行转化进行转化,因此因此,可可考虑二倍角的变形公式考虑二倍角的变形公式.四四 代换意识代换意识代换是解三角题经常用到的技巧代换是解三角题经常用到的技巧,如特殊值与三角函数的代换如特殊值与三角函数的代换 1的代换等的代换等,恰当地进行代换有利于迅速解题恰当地进行代换有利于迅速解题,又如在一个又如在一个函数式中同时出现函数式中同时出现sinxcosx与与sinx cosx,可考虑设可考虑设t=sinxcosx等等.五五 消元意识消元意识消元法在解三角题中有着广泛的应用消元法在解三角题中有着广泛的应用,如给角求值时如给角求值时,消去非消去非特殊角特殊角;证明条件等式时证明条件等式时,消去结论中不含的角或函数等消去结论中不含的角或函数等.解题切入点解题切入点此题各式间的差异较大此题各式间的差异较大,不仅角之间有差异不仅角之间有差异,而而且函数名及结构之间也存在较大的差异且函数名及结构之间也存在较大的差异,为此为此,我们要重点抓我们要重点抓住某一特征差异进行分析住某一特征差异进行分析,以求突破以求突破.六六 配凑意识配凑意识为利用公式而配因子为利用公式而配因子,为利用已知角而凑角为利用已知角而凑角,这些都是解三角这些都是解三角题的常用手段题的常用手段.