高三数学一轮复习 第3章3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数 文 北师大

3.1任意角与弧度制、任任意角与弧度制、任意角的三角函数意角的三角函数 考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考3.1任任意意角角与与弧弧度度制、制、任任意意角角的的三三角角函函数数双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理1角的概念角的概念(1)角的分类角的分类角按旋转方向不同可分为角按旋转方向不同可分为_、_、_(2)终边相同的角终边相同的角所有与角所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角在内，可构成在内，可构成一个集合一个集合_正角正角负角负角零角零角|k360，kZ2象限角及终边落在坐标轴上的角象限角及终边落在坐标轴上的角终边终边位置位置集合表示集合表示第一象限第一象限第二象限第二象限_第三象限第三象限第四象限第四象限_终边终边位置位置集合表示集合表示x轴轴正半正半轴轴|2k，kZ负负半半轴轴_y轴轴正半正半轴轴负负半半轴轴 _坐坐标轴标轴|2k，kZ思考感悟思考感悟1如何表示终边在如何表示终边在x轴上、轴上、y轴上的角的集合？轴上的角的集合？3角度制与弧度制的互化角度制与弧度制的互化360_，180_，1_rad，1rad()57.35718.4弧长及扇形面积公式弧长及扇形面积公式弧长公式：弧长公式：l|r，扇形面积公式：扇形面积公式：S_，其中其中l为扇形弧长，为扇形弧长，为圆心角的弧度数，为圆心角的弧度数，r为扇形为扇形半径半径25任意角的三角函数任意角的三角函数三角三角函数函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数定定义义在直角坐在直角坐标标系中，系中，给给定定单单位位圆圆，对对于任意角于任意角，使，使角角的的顶顶点与原点重合，始点与原点重合，始边边与与x轴轴正半正半轴轴重合，重合，终终边边与与单单位位圆圆交于点交于点P(x，y)_叫作叫作的的正弦函数，正弦函数，记记作作sin_叫作叫作的的余弦函数，余弦函数，记记作作cos_叫作叫作的正的正切函数，切函数，记记作作tan(k，kZ)三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数各象限各象限符号符号口口诀诀一全正，二正弦，三正切，四余弦都一全正，二正弦，三正切，四余弦都为为正正值值终边终边相同角的三相同角的三角函数角函数值值(kZ)sin(2k)_cos(k2)costan(2k)_sintan思考感悟思考感悟2根据三角函数的定义，三角函数在各象限的根据三角函数的定义，三角函数在各象限的符号与此象限点的坐标的符号有怎样的关系？符号与此象限点的坐标的符号有怎样的关系？提示：提示：根据三角函数的定义，根据三角函数的定义，ysinx在各象限在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同，的符号与此象限点的纵坐标符号相同，ycosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同，在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同，ytanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同横坐标商的符号相同6三角函数线三角函数线图中有向线段图中有向线段MP、OM、AT分别表示分别表示_、_、_正弦线正弦线余弦线余弦线正切线正切线1(2011年蚌埠质检年蚌埠质检)若若k18045(kZ)，则则是是()A第一或第三象限角第一或第三象限角B第一或第二象限角第一或第二象限角C第二或第四象限角第二或第四象限角 D第三或第四象限角第三或第四象限角答案：答案：A课前热身课前热身答案：答案：D3若若sin0，则，则是是()A第一象限角第一象限角 B第二象限角第二象限角C第三象限角第三象限角 D第四象限角第四象限角答案：答案：C答案：第二象限答案：第二象限考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一角的集合表示角的集合表示1相等的角终边一定相同，但终边相同的角却相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差间相差360的整数倍的整数倍第一象限第一象限角角第二象限第二象限角角第三象限第三象限角角第四象限第四象限角角第一或第第一或第三象限角三象限角第一或第第一或第三象限角三象限角第二或第第二或第四象限角四象限角第二或第第二或第四象限角四象限角 (2011年亳州质检年亳州质检)如图所示，点如图所示，点A在半径在半径为为1且圆心在原点的圆上，且且圆心在原点的圆上，且AOx45.点点P从从点点A出发，依逆时针方向等速地沿单位圆周旋转出发，依逆时针方向等速地沿单位圆周旋转已知已知P在在1秒钟内转过的角度为秒钟内转过的角度为(0180)，经过经过2秒钟到达第三象限，经过秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到秒钟后又回到出发点出发点A，求，求.例例例例1 1【思路点拨思路点拨】先把实际语言转化为数学语言，即先把实际语言转化为数学语言，即14秒钟后秒钟后P在角在角1445的终边上，由此可得到等的终边上，由此可得到等量关系，再注意到量关系，再注意到角的范围便可确定角的范围便可确定的值的值【名师点评名师点评】解答这类问题，关键在于抓住终解答这类问题，关键在于抓住终边相同的角的一般表示，即与角边相同的角的一般表示，即与角终边相同的角终边相同的角的一般形式为的一般形式为k360(kZ)另外，对于另外，对于角的概念，还要注意区分几个易混淆的概念：角的概念，还要注意区分几个易混淆的概念：(1)正角、负角是以射线绕端点的旋转方向定义的，正角、负角是以射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转；其顶点都在原点，零角是射线没有做任何旋转；其顶点都在原点，始边为始边为x轴的正半轴，所不同的是终边的旋转方轴的正半轴，所不同的是终边的旋转方向不同一个角是第几象限角，关键是看这个角向不同一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限；的终边落在第几象限；(2)“小于小于90的角的角”“锐角锐角”“第一象限角第一象限角”的根本区别在于其范围的不同，它的根本区别在于其范围的不同，它们的范围分别是：们的范围分别是：“90”“090”“k3600)，当，当为多少弧为多少弧度时，该扇形有最大面积？度时，该扇形有最大面积？方法技巧方法技巧1在利用三角函数定义时，点在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值一定是正值(如例如例2)2要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关系要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关系给定一个角，要准确判断它所在的象限或区域给定一个角，要准确判断它所在的象限或区域熟记一些常见角的集合熟记一些常见角的集合(如课前热身如课前热身5)方法感悟方法感悟1注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于小于90的角是概念不同的三类角第一类是象的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用可混用3注意熟记注意熟记0360间特殊角的弧度表示间特殊角的弧度表示失失误误防范防范考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考从近几年高考来看，三角函数定义在高考中经从近几年高考来看，三角函数定义在高考中经常出现，既有小题也有大题，主要是与其他知常出现，既有小题也有大题，主要是与其他知识相结合考查，一般不单独命题识相结合考查，一般不单独命题预测预测2012年高考仍将与其他知识结合考查，重年高考仍将与其他知识结合考查，重点考查基础知识与运算能力点考查基础知识与运算能力 (本题满分本题满分10分分)已知角已知角的终边上一点的终边上一点P(3a,4a)(a0)，求角，求角的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值规规范解答范解答例例例例解析：解析：选选A.sin(2191)sin(636031)sin31.故选故选A.名名师预测师预测3若角若角与角与角的终边在同一条直线上，则角的终边在同一条直线上，则角与角与角满足关系式满足关系式_解析：解析：由条件知角由条件知角与角与角的终边或重合或共线且的终边或重合或共线且反向，于是有反向，于是有2k1或或2k2(2k21)(k1、k2Z)，即，即k(kZ)答案：答案：k(kZ)4已知圆的半径是已知圆的半径是6 cm，则，则15的圆心角与圆弧的圆心角与圆弧围成的扇形面积是围成的扇形面积是_