知识点20二次函数几何方面的应用（2）

二、填空题 1. （2019湖北仙桃，13，3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是　 　． 【答案】100 【解析】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x）， S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100， 当x＝10时，S最大值为100． 故答案为100． 【知识点】二次函数的最值；矩形的性质 2. (2019黑龙江大庆,18题,8分)如图抛物线y＝(p>0),点F(0,p),直线l:y＝－p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,则△A1OB1的面积＝______(只用a,b表示). 第18题图 【答案】 【思路分析】先由边相等得到∠A1FB1＝90°,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到△A1OB1的高,求出三角形面积. 【解题过程】设∠A＝x,则∠B＝180°－x,由题可知,AA1＝AF,BB1＝BF,所以∠AFA1＝,∠BFB1＝,所以∠A1FB1＝90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1＝,所以点F到A1B1的距离为,因为点F(0,p),直线l:y＝－p,△A1OB1的高为,所以△A1OB1的面积＝··＝ 【知识点】等边对等角,勾股定理,二次函数,三角形面积 三、解答题 1. （2019广西省贵港市，题号，分值11分）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）写出点的坐标并求直线的表达式； （3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标． 【思路分析】（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解； （2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解； （3）分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【解题过程】解：（1）函数表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）、，则点， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：，解得：， 故直线的表达式为：； （3）设点、点， ①当是平行四边形的一条边时， 点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到， 同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到， 即：，， 解得：，， 故点、的坐标分别为、； ②当是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：，， 解得：，， 故点、的坐标分别为、； 故点、的坐标分别为或、或． 【知识点】二次函数综合题 2. （2019贵州省毕节市，题号27，分值16分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点． （1）抛物线的解析式为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　； （2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标； （4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解； （2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD＝BC＝×3＝2，即可求解； （3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解； （4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解． 【解题过程】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①， 顶点坐标为（﹣1，4）； （2）∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BD＝BC＝×3＝2， yD＝BDsin∠CBO＝2， 则点D（﹣1，2）； （3）如图2，设直线PE交x轴于点H， ∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝45°， ∴OH＝OE＝1， 则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②， 联立①②并解得：x＝（舍去正值）， 故点P（，）； （4）不存在，理由： 连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H， 直线BC的表达式为：y＝x+3， 设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3）， 则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8， 整理得：3x2+9x+7＝0， 解得：△＜0，故方程无解， 则不存在满足条件的点P． 【知识点】二次函数综合题． 3. （2019贵州黔西南州，26，16分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点． （1）抛物线的解析式为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　； （2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标； （4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即可求解； （2）S△CPD：S△BPD＝1：2，则BD=23BC=23×32=22，即可求解； （3）∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，即可求解； （4）利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝8，即可求解． 【解题过程】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①， 顶点坐标为（﹣1，4）； （2）∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BD=23BC=23×32=22， yD＝BDsin∠CBO＝2， 则点D（﹣1，2）； （3）如图2，设直线PE交x轴于点H， ∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝45°， ∴OH＝OE＝1， 则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②， 联立①②并解得：x=-1±172（舍去正值）， 故点P（-1-172，17-12）； （4）不存在，理由： 连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H， 直线BC的表达式为：y＝x+3， 设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3）， 则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC=12×3×3+12（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8， 整理得：3x2+9x+7＝0， 解得：△＜0，故方程无解， 则不存在满足条件的点P． 【知识点】二次函数综合运用；一次函数；一元二次方程的应用 4. （2019湖北十堰，25，12分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，94），与x轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）若点P在抛物线上，且S△PBDS△CBD=m，试确定满足条件的点P的个数． 【思路分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题． （2）可能．分三种情形①当DE＝DF时，②当DE＝EF时，③当DF＝EF时，分别求解即可． （3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，-316（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题． 【解题过程】解：（1）由题意：16a+c=04a+c=94， 解得a=-316c=3， ∴抛物线的解析式为y=-316（x﹣2）2+3， ∴顶点D坐标（2，3）． （2）可能．如图1， ∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0）， ∴AB＝8，AD＝BD＝5， ①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD， ∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立． ②当DE＝EF时， 又∵△BEF∽△AED， ∴△BEF≌△AED， ∴BE＝AD＝5 ③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA， △FDE∽△DAB， ∴EFBD=DEAB， ∴EFDE=BDAB=58， ∵△AEF∽△BCE ∴EBAD=EFDE=58， ∴EB=58AD=258， 答：当BE的长为5或258时，△CFE为等腰三角形． （3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，-316（n﹣2）2+3]， 则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH=12×4×[-316（n﹣2）2+3]+12×3×（n﹣2）-12×4×3=-38（n﹣4）2+32， ∵-38＜0， ∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为32， ∵S△PBDS△CBD=m， ∴当点P在BD的右侧时，m的最大值=325=310， 观察图象可知：当0＜m＜310时，满足条件的点P的个数有4个， 当m=310时，满足条件的点P的个数有3个， 当m＞310时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）． 【知识点】待定系数法；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质 5. （2019湖北咸宁，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-12x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标； （3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标． 【思路分析】（1）求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式． （2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标． （3）B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EF＝OB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标． 【解题过程】解：（1）在y=-12x+2中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2 ∴A（4，0），B（0，2） 把A（4，0），B（0，2），代入y=-12x2+bx+c，得 c=2-12×16+4b+c=0，解得b=32c=2 ∴抛物线得解析式为y=-12x2+32x+2 （2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F ∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE ∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE 即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE ∴∠DBE＝∠ABE ∴∠DBE＝∠BAC 设D点的坐标为