高中数学难点集锦1-20

高中数学难点集锦1-20难 点 1集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.难点磁场()已知集合 A=(x,y)|x 2+m x y+2=O,B=(x,y)x y+l=0,且 0Wx W2 ,如果 A C B N ，求实数m的取值范围.案例探究 例 1 设 4=区丫)|y 2 x l=0,B=(x,y)|4 x 2+2 x 2 y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b ,是否存在k、b GN,使得(A U B)C C=,证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A U B)C C=转化为AC C=且 B C C=,这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合A与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k 的范围，又因b、kd N,进而可得值.解：v (A U B)n c=,.A n c=且 B C C=y 2 x IV .,.k2 x 2+(2 b k-l)x+b 2-l=0y kx bVAnc=A 1=(2 b k-l)2-4 k2(b 2-l)04 k 2 4 b k+l 0,即 b 2 l 4 x 2 2 x 2 y 5 0 V y kx bA 4 x 2+(2-2 k)x+(5+2 b)=0V Br)C=,A A 2=(l-k)2-4(5-2 b)0.k2-2 k+8 b-1 9 0,从而 8 b 2 0,即 b 2.5 由及b GN,得 b=2 代 入 由 l 0和 2 0组成的不等式组，得2 4 k 8 k 1 0,2 k 2 k 3 0；.k=l,故存在自然数k=l,b=2,使得(A U B)AC=.例 2 向 5 0名学生调查对A、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对 A、B都不赞成的学生数比对A、B 都赞成的学生数的三分之一多1 人.问对A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属*级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.解：赞成A的人数为5 0 3 3=3 0,赞成B的人数为3 0+3=3 3,如上图，记 5 0 名学生组5x+1,赞成A而 3成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A、B都赞成的学生人数为X,则对A、B都不赞成的学生人数为不赞成B的人数为3 0-x,赞成B而不赞成A的人数为3 3-x.依题意(3 0 x)+(3 3 x)+x+(x+l)=5 0,解得 x=2 1.3所以对A、B都赞成的同学有2 1 人，都不赞成的有8人.锦 囊妙计1 .解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x x G P ,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2 .注 意 空 集 的 特 殊 性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 A B,则有A=或 A W 两种可能，此时应分类讨论.歼灭难点训练一、选择题1.()集合 M=x 1 x=k x k ,k e Z,N=x|x=,k e Z,则()2 4 2 2A.M=N B.M N C.M N D.M C lN=2.()已知集合人=k|一2 Wx W7 ,B=x|m+l x 2 m 1 且 B W，若 A U B=A,则()A.-3 W m W 4 B.-3 m 4C.2 m 4 D.2 c m 0,b 0 ,当 A C 1 B 只有一个元ab素时，a,b的关系式是.三、解答题5.()集合 A=x|x 2 ax+a2 1 9=0 ,B=x|lo g2 (x 2 5 x+8)=l,C=x|x 2+2 x 8=0 ,求当a 取什么实数时，A HB 和 ACC=同时成立.6.()已知an 是等差数列，d为公差且不为0,al和 d 均为实数，它的前n项和记作 S n,设集合 A=(an,S n l)|n G N*,B=(x,y)|x 2-y2=l,x,yG R .4 n试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同 条直线上；(2)A A B 至多有一个元素；(3)当 al W 0 时，一定有 A C B W .7.()已知集合 A=z|z-2|W 2,z e e ,集合 B=w|w=l z i+b,be R,当 ACB=B时，2求 b 的值.8.()设 f(x)=x2+p x+q,A=x|x=f(x),B=x|f f(x)=x.求 证：A B;(2)如果 A=-1,3 ,求 B.参考答案难点磁场x2 m x y 2 0 解：由 得 x2+(m l)x+l=Ox y 1 0(0 x 2).A C B W方程在区间 0,2 上至少有一个实数解.首先，由 A=(m-l)2 4 N 0,得 m 2 3 或 m W l,当 m 2 3 时，由 xl+x2=-(m-1)V 0 及xl x2=l 0 知，方程只有负根，不符合要求.当 m W 1 时，由 xl+x2=(m 0 及 xl x2=l 0 知，方程只有正根，且必有一根在区间(0,1 内，从而方程至少有一个根在区间 0,2 内.故所求m的取值范围是m W 1.歼灭难点训练一、1.解 析:对 M 将 k 分成两类：k=2 n 或 k=2 n+l(n Z),M=x|x=n +n n+4,n Z U x|x=3,n CZ ,对 N 将 k 分成四类，k=4 n 或k=4 n+l,k=4 n+2,k=4 n+3(n F Z),N=x|x=n n +,n 4 23 5 e Z U x I x=n o r +,n e Z U x I x=n JI+j i,n e Z U x I x=n JT+,n e Z .4 4答案：C2.解析：V AU B=A,AB A,又 B#,m 1 2 2 m 1 7 即 2 c m W 4.m 1 2 m 1答案：D二、3.a=0 或 a 9 8abxy,=1 相切，则 l=2 2 aba b4.解析：由 A C B 只 有 1 个交点知，圆 x2+y 2=l 与直线即 ab=a2 b2.答案：ab=a2 b2三、5.解：Io g2(x2-5x+8)=l,由此得 x2 5x+8=2,，B=2,3.由 x2+2 x-8=0,：.C=2,4 ,又 ACl C=,：.2 和一4都不是关于x 的方程x2 ax+a2 1 9=0 的解，而 ACB，即 ACIBW ,.*.3是关于x 的方程x2 ax+a2-1 9=0 的解，可得a=5或 a=-2.当 a=5时，得人=2,3,.,.An C=2 ,这 与 A C C=不符合，所 以 a=5(舍去)；当 a=一2时，可以求得人=3,-5),符合ACC=,AAB,.*.a=2.n(al an)SSl,则 n (al+an),这表明点(an,n)2 n 2 nSil l 的坐标适合方程y (x+al),于是点(an,n)均在直线y=x+al 上.2 2 2 n1 1 y x al 2 2(2)正确.设区丫)6 八 门8,贝 1 区丫)中的坐标右丫应是方程组 的解，由方程组消1 x2 y 2 1 4 6.解：(1)正确.在等差数列 an 中，Sn=去 y 得：2 al x+al 2=-4(*),当 al=0 时，方程(*)无解，此时A C B=；当 a l W O 时，方程(*)2 4 al y 2 al ，此时，方 程 组 也 只 有 一 解，故上述方程组至多有一解.2 y al 44 a 1 4 al 只有一个解 x=2 al 2.AAB至多有一个元素.(3)不正确.取 al=l,d=l,对一切的 xGN*,有 an=al+(n l)d=n 0,Sn 0,这时集合 A 中的 n元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于al=l W 0.如果A C B W ，那么据(2)4 al a x0 32 的结论，A C B 中至多有一个元素(x0,y 0),而 x0=0,y 0=l 0,这 样 2 al 52 4的(x0,y 0)A,产生矛盾，故 al=l,d=l 时 A C B=,所以a l W O 时，一定有A C B W是不正确的.21 2 w 2 bz i+b 得 z=,2 i2 w 2 b.z CA,二|z 一2|W 2,代入得|一2|W 2,化简得|w-(b+i)|WL i7.解：由 w=.集合A、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集 合 A 表示以点(2,0)为圆心，半径为2的圆面，集 合 B 表示以点(b,l)为圆心，半径为1 的圆面.又 A C B=B,即 B A,.两圆内含.因此(b 2)2 (1 0)2 W 2-1,即(b2)2 W 0,.b=2.8.(1)证明：设 x0 是集合A 中的任一元素，即有xOCA.,:A=x|x=f(x)，:.xO=f(x0).即有 f f(x0)=f(xO)=x0,.xO e B,故 A B.(2)证 明:V A=-1,3 =x|x2+p x+q=x,二方程x2+(p l)x+q=0 有两根一1 和 3,应用韦达定理，得1 3(p 1),p 1 (1)3 q q 3/.f(x)=x2-x-3.于是集合B 的元素是方程f Ef(x)=x，也即(x2 x3)2(x2 x 3)3=x(*)的根.将方程(*)变形，得(x2 x3)2-x2=0解得 x=l,3,3,3.故 8=3,-1,3).难点2充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.难点磁场()已知关于x的实系数二次方程x 2+ax+b=0 有两个实数根a、B,证明：a|2 且B|2 是 2 1 al 2 且 b l 是两根a、B 均大于1 的什么条件？6.()已知数列 an 、b n 满足：b n=al 2 a2 n an,求证：数列 an 成等差 1 2 3 n数列的充要条件是数列 b n 也是等差数列.7.()已知抛物线C：y=-x2+m x1 和点A(3,0),B(0,3),求抛物线C与线段 A B有两个不同交点的充要条件.8.-2 m 0,0 n l ;q:关 于 x 的方程x2+m x+n=0 有 2个小于1 的正根，试分析P是 q的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1)充分性:由韦达定理，得|b 1 =|a?B|=|a|B 2 3 2=4.设 f(x)=x2+ax+b,则 f(x)的图象是开口向上的抛物线.又|a|V2,3|0.4 2 a b 0 即有 4+b 2 a-(4+b)4 2 a b 0又|b|0 2|a 4+b(2)必要性:由 2 1 a 0 且 f(x)的图象是开口向上的抛物线.二方程f(x)=0 的 两 根 a,B 同在(一2,2)内或无实根.；a,B 是方程f(x)=0 的实根，二 a,B 同在(一2,2)内，即|a|2 且|6|2,b=a B 1,.q p1(2)为证明Pq,可以举出反例：取 4,B 二1