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5.5 确定圆的条件
一．选择题
1．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．24秒
2．下列命题正确的个数有（ ）
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．35°
4．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°
5．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（ ）
A．△ABC的三边高线的交点P处
B．△ABC的三角平分线的交点P处
C．△ABC的三边中线的交点P处
D．△ABC的三边中垂线的交点P处
6．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
7．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A． B． C． D．
8．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A．8或6 B．10或8 C．10 D．8
9．如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC＝，BC＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC交于点P，OP＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．12 C．8 D．12
11．若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A．a＜﹣1 B．a＞3 C．﹣1＜a＜3 D．a≥﹣1且a≠0
二．填空题
12．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 ．
13．已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）．
14．如图，△ABC是圆O的内接三角形，连接OA、OC，若∠AOC＝∠ABC，弦AC＝6，则圆O的半径为 ．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为 ．
三．解答题
16．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．
（1）求证：∠ABD＝2∠C．
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
17．如图，⊙O是△BC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，联结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：
（1）边BC的长；
（2）⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
1．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，
∵∠QON＝30°，OA＝240米，
∴AC＝120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，
∵AB＝200米，AC＝120米，
∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，
∵72千米/小时＝20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20＝16秒．
故选：B．
2．解：①过两点可以作无数个圆，正确；
②经过三点一定可以作圆，错误；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，
正确的有2个，
故选：B．
3．解：由题意知A、B、C三点在以O为圆心的圆上，
∵AB＝OA＝OB＝OC，
∴∠AOB＝60°，
∵∠ACB＝∠AOB＝30°，
故选：B．
4．解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，∠A′＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°．
故选：C．
5．解：三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．
故选：D．
6．解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故选：B．
7．解：连接OA，并作OD⊥AB于D，则
∠OAD＝30°，OA＝2，
∴AD＝OA•cos30°＝，
∴AB＝2．
故选：C．
8．解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝＝20，
因此这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故选：B．
9．解：如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D
∵OB＝OC，OD⊥BC
∴CD＝BC，∠COD＝∠BOC
又∵∠BOC＝2∠A，BC＝2
∴∠COD＝∠A，CD＝
∵sin∠BAC＝
∴sin∠COD＝
∴OC＝3
故选：A．
10．解：连接OA，OC
∵∠B＝60°，∠AOC＝2∠B
∴∠AOC＝120°
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，且∠OAC＝30°
∴AO＝2OP＝2×4＝8
故选：C．
11．解：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内，
∴|a﹣1|＜2，
∴﹣1＜a＜3．
故选：C．
二．填空题
12．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴
解得：k＝﹣，b＝，
∴直线AB的解析式为y＝﹣+，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
13．解：∵方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4d＜0，
∴d＞1，
∵⊙O的半径为1，
∴d＞r；
∴点P在⊙O的外部，
故答案为：圆外．
14．解：作所作的圆周角∠APC，过O点作OH⊥AC于H，如图，
∵∠P＝∠AOC，∠P+∠ABC＝180°，
∴∠AOC+∠ABC＝180°，
∵∠AOC＝∠ABC，
∴∠AOC+∠AOC＝180°，解得∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣120°）＝30°，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH＝AC＝×6＝3，
在Rt△AOH中，OH＝AH＝×3＝3，
∴OA＝2OH＝6，
即圆O的半径为6．
故答案为6．
15．解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝AB＝3，
即⊙O的半径是3，
故答案为：3．
三．解答题
16．（1）证明：∵C是的中点，
∴＝，
∴∠ABC＝∠CBD，点F是AD的中点，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，
∴∠ABD＝∠ABC+CBD＝2∠C；
（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6，
∵C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴OA2﹣OF2＝AF2＝AC2﹣CF2，
∴52﹣OF2＝62﹣（5﹣OF）2，
∴OF＝1.4，
又∵O是AB的中点，F是AD的中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF＝2.8．
17．解：（1）∵E点为的中点，CE为直径，
∴CE⊥AB，
∴AD＝BD，
即CD垂直平分AB，
∴CB＝CA＝4；
（2）连接OB，如图，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴∠BOD＝60°，
在Rt△BOD中，BD＝AB＝2，
∴OD＝BD＝，
∴OB＝2OD＝，
即⊙O的半径为．
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