湖北省荆州市开发区中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】函数恒成立问题．
【分析】依题意，可得2a≥[]min（x≥﹣2），构造函数g（x）==﹣，利用导数法可求得g（x）的极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，从而可得答案．
【解答】解：f（x）=﹣x≤0在[﹣2，+∞）上有解
?2aex≥﹣x在[﹣2，+∞）上有解
?2a≥[]min（x≥﹣2）．
令g（x）==﹣，
则g′（x）=3x2+3x﹣6﹣=（x﹣1）（3x+6+），
∵x∈[﹣2，+∞），
∴当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间[﹣2，1）上单调递减；
当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，
∴2a≥﹣﹣，
∴a≥．
故选：C．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想，突出分离参数法、构造法与导数法的综合运用，属于难题．
2. ．如图所示，程序框图的输出结果S= 。
参考答案：
略
3. 函数的定义域为，，对任意，，则的解集为
A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）
参考答案：
B
4. 已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
B
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．
【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，
则==，
所以有，故m=3，
故选：B．
【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．
5. 已知，，则（ ）。
A. B. C. D.
参考答案：
A
6. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的一条棱长为（ ）
A． B． C. 4 D．
参考答案：
A
由三视图可知该几何体是由一个四棱锥和一个三棱锥组合而成（如图所示），易知这个几何体最长的一条棱长为；故选A.
点睛：根据三视图判断空间几何体的形状，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是：若三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；若三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为棱锥；若三视图中有两个矩形和一个多边形，则该几何体为棱柱；若三视图中有两个梯形和一个多边形，则该几何体为棱柱；若三视图中有两个三角形和一个圆，则该几何体为圆锥.
7. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是
A. 90 B. 129 C. 132 D. 138
参考答案：
D
8. 直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线
作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
答案：B
解析：直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，联立方程组得，消元得，解得，和，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面积为48，选B.
9. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A﹣BCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
参考答案：
D
【考点】平面与平面垂直的判定．
【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，从而得到AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，可得平面ABC⊥平面ADC．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°
∴BD⊥CD
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD
故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB
∴AB⊥平面ADC，
又AB?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC．
故选D．
10. 在中，若依次成等差数列，则（ ）
A．依次成等差数列 B．依次成等比数列
C．依次成等差数列 D．依次成等比数列
参考答案：
C
：因为依次成等差数列，则 ，得 ，得 ， ，所以选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为 ．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．
【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，
设正四棱锥的高为PO，连结AO，
则AO=AC=．
在直角三角形POA中，PO===1．
所以VP﹣ABCD=?SABCD?PO=×4×1=．
故答案为：．
12. 实数满足不等式组，则的取值范围是 .
参考答案：
略
13. 设、为实数，且，则= 。
参考答案：
4
14. 已知等差数列()的首项，设为的前n项和，且，故当取最大值时n的值为___________.
参考答案：
8,9
略
15. 已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则=
A．8 B．6 C．6 D．8
参考答案：
D
略
16. 数列（）满足，则=_____________.
参考答案：
17. 已知数列为等比数列，且，则的值为____.
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=3，S11=0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．
参考答案：
【考点】等差数列的性质．
【分析】（1）由题意可得得a6=2，进而求出公差d，代入可得{an}的通项公式；
（2）求出前n项和为Sn的表达式，进而根据二次函数的图象和性质得到Sn的最大值．
【解答】解：（1）由等差数列的求和公式和性质可得：
S11=11×a6=0，
解得a6=2，
又∵a3=3，
故数列{an}的公差d=﹣1，
故an=a3+（n﹣3）×﹣1=6﹣n；
（2）由（1）得a1=5，
故Sn=a1n+=n2+，
故当n=5，或6时，Sn最大，
Sn的最大值为15
19. (14分)已知函数,（ x>0）．
（I）当0
1；
（II）是否存在实数a，b（a0，∴
∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．
由0．……………………………………3分
故，即ab>1．……………………………………4分
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是
[a，b]，则a>0．
① 当时，在（0，1）上为减函数．
故 即
解得 a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………6分
② 当时，在上是增函数．
故 即
此时a，b是方程的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………8分
③ 当，时，
由于，而，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．………………………………10分
（III）若存在实数a，b（a0，m>0．
① 当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故．此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
② 当或时，由（II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有．
∵在上是增函数，
∴ 即
a， b是方程的两个根．
即关于x的方程有两个大于1的实根．……………………12分
设这两个根为，．
则+=，·=．
∴ 即
解得 ．
故m的取值范围是．…………………………………………14分
20. 设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）当时，数列满足，，求数列的通项公式．
参考答案：
（Ⅰ）证明：因为,则，
所以当时，，整理得．-----------------4分
由，令，得，解得．
所以是首项为，公比为的等比数列． -----------------6分
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，则，
由，得 ， -----------------8分
当时，可得
＝， -----------------10分
当时，上式也成立．
∴数列的通项公式为． -----------------12分
【解析】略
21. (14分)如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
参考答案：
解析:证明：（Ⅰ）连结，在中，、分别为，的中点，则
……………4分
（Ⅱ）
…………9分
（Ⅲ）
且
，………10分
∴
即 …………………12分
=
= ………………14分
22. 已知函数.
(1) 求的单调区间
(2)如果 存在，，使得，求满足上述条件的最大整数M；
（3）若对任意,，都有成立，求实数的取值范围.
参考答案：
(Ⅰ)递减区间 递增区间，
(Ⅱ) M=4
（Ⅲ）=1 任意,，都有成立等价于
当时当时
