湖北省武汉市青云中学高二数学理联考试卷含解析

湖北省武汉市青云中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 A．232            B．252              C．472             D．484     参考答案： C 略 2. 已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 参考答案： B 【考点】导数的几何意义． 【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程． 【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a）， 又∵ ∴x0+a=1 ∴y0=0，x0=﹣1 ∴a=2． 故选项为B 3. 椭圆=1的焦距为2，则m的值是（　　） A．6或2 B．5 C．1或9 D．3或5 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；规律型；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值． 【解答】解：由题意可得：c=1． ①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5． ②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m=1，解得m=3． 则m的值是：3或5． 故选：D． 【点评】本题只要考查椭圆的标准方程，以及椭圆的有关性质． 4. 已知i是虚数单位,若复数z满足,则= A. －2i B. 2i C. －2 D. 2 参考答案： A 由得,即,所以,故选A. 5. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（    ）． （）AC⊥BD （）AC∥截面PQMN （）AC=BD （）异面直线PM与BD所成的角为45° A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C ∵， ∴面， 又∵平面平面， ∴， ∴截面．②正确； 同理可得， 故．①正确， 又，， ∴异面直线与所成的角为，故④正确． 根据已知条件无法得到、长度之间的关系，故③错误． 故选． 6. 函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 参考答案： B 对函数求导可得，根据导数的几何意义，，即 ==()·)=+5≥2+5=4+5=9，当且仅当即时，取等号.所以最小值是9. 故选B. 7. 圆与圆的位置关系是 A、相切               B、相离                 C、相交                D、内含 参考答案： A 8. 公比为的等比数列的各项都是正数，且，则（   ） A．            B.                 C.                  D. 参考答案： A 9. 若原点和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 (     )  A．     B．     C．      D． 参考答案： A 略 10. 老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”． 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是（） A. 甲，丙 B. 乙，丁 C. 丙，丁 D. 乙，丙 参考答案： D 试题分析：如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D． 考点：合情推理． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等比数列中，已知，，则=_______ 参考答案： 512或-1 12. 半径分别为5，6的两个圆相交于A，B两点，AB=8，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为　　． 参考答案： 【考点】MK：点、线、面间的距离计算． 【分析】作出图形，结合图形分别求出两圆圆心到相交弦的距离，由此能求出两圆的圆心距． 【解答】解：如图，半径分别为5，6的两个圆O1，O2相交于A，B两点，AB=8， 两个圆所在平面EFCD⊥平面MNCD， 取AB中点O，连结OO1，OO2，则OO1⊥OO2， OO1===3， OO2===2， ∴它们的圆心距|O1O2|===． 故答案为：． 13. 在极坐标系中,过点作圆的切线,则切线的极坐标方程是__________. 参考答案： . 试题分析：点的直角坐标为，将圆的方程化为直角坐标方程为，化为标准式得，圆心坐标为，半径长为，而点在圆上，圆心与点之间连线平行于轴，故所求的切线方程为，其极坐标方程为. 考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程 14. 已知, 则的最大值是          ； 参考答案： 10 15. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为                  参考答案： 16.  在公差不为0的等差数列中，已知，且恰好构成等比数列，则的值为    参考答案： -2 17. 已知、、、是三棱锥内的四点，且、、、分别是线段、、、的中点，若用表示三棱锥的体积，其余的类推．则                 ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.     已知函数． （1）求函数f(x)的单调递减区间； （2若，证明：． 参考答案： 解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－. 由<0及x>－1，得x>0． ∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）． ⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0， 因此，当时，≤，即≤0∴ ． 令，则＝． ∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0． ∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ． 综上可知，当时，有． 略 19. 如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，，,，且满足. （1）求证：平面侧面； （2）求二面角的平面角的余弦值。 参考答案： （1）证明：     又   …………………………4分 （2）由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分 别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， B(0,0,0),  A(0,3,0),  C(3，0，0) , 又由， 满足， 所以E(1，2，0), F(0，1，1) …………………6分       …………………8分       此时,设所求二面角平面角为，        则 。         …………………12分   20. 已知双曲线：的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为．已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若，证明：直线过定点．   参考答案： （Ⅰ）抛物线的焦点 ，双曲线的渐近线为，       -------------------2分 不妨取，即，∴焦点到渐近线的距离为，-------------4分 ∵，∴            ------------------------------------------6分 （Ⅱ）设所在直线的方程为，代入中，得， 设，则有，从而． 则．                               ------------------------------------------8分 设所在直线的方程为，同理可得． ，所在直线的方程为， 即．                   ------------------------------------------10分 又，即，代入上式，得， 即 ．∵，∴是此方程的一组解， 所以直线恒过定点．                  ------------------------------------------12分 21. （本小题12分（1）小问6分，（2）小问6分） 某幼儿园小班的美术课上，老师带领小朋友们用水彩笔为美术本上如右图所示的两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色.该班的小朋友牛牛现可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色，蓝色，紫色各一支. (1)牛牛从他可用的五支水彩笔中随机的取出两支按老师要求为气球涂色，问两个气球同为冷色的概率是多大？ (2)一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟.牛牛至少需要2分钟完成该项任务.老师在发出开始指令1分钟后随时可能来到牛牛身边查看涂色情况.问当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务的概率是多大？ 参考答案： （1）如下表格，   红色 橙色 绿色 蓝色 紫色 红色 0 1 1 1 1 橙色 1 0 1 1 1 绿色 1 1 0 2 2 蓝色 1 1 2 0 2 紫色 1 1 2 2 0 易知两个气球共20种涂色方案， …………2分 其中有6种全冷色方案， …………4分 故所求概率为 …………6分 （2）老师发出开始指令起计时，设牛牛完成任务的时刻为，老师来到牛牛身边检查情况的时刻为，则由题有……式1， 若当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务，则……式2， 如下图所示，所求概率为几何概率 10分                            阴影部分(式2)面积为 可行域（式1）面积为 所求概率为 12分 22. （本小题满分12分）对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点． ⑴当时，求的不动点； ⑵若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围； ⑶在⑵的条件下，若的图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．   参考答案： 解 （1）当a＝2，b＝－2时，                设x为其不动点，即 则    的不动点是－1，2． （2）由得：．  由已知，此方程有相异二实根， 恒成立，即即对任意恒成立．   （3）设， 直线是线段AB的垂直平分线，      记AB的中点由（2）知              在 化简得：时，等号成立）． 即0>