湖北省武汉市第四十一中学2023年高一数学理上学期期末试卷含解析

湖北省武汉市第四十一中学2023年高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）下列函数在（0，+∞）上单调递增的是（） A． B． y=（x﹣1）2 C． y=21﹣x D． y=lg（x+3） 参考答案： D 考点： 函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用基本初等函数的单调性逐项判断即可． 解答： A中，在（﹣1，+∞）和（﹣∞，﹣1）上单调递减，故在（0，+∞）上也单调递减，排除A； B中，y=（x﹣1）2在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，故在（0，+∞）上不单调，排除B； y=21﹣x在R上单调递减，排除C； y=lg（x+3）在（﹣3，+∞）上递增，故在（0，+∞）上也单调递增， 故选D． 点评： 本题考查函数单调性的判断，属基础题，熟练掌握常见基本初等函数的单调性是解决相关问题的基础． 2. 函数的图像大致是  （  ）                                  A                B                      C D 参考答案： A 略 3. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是 A          B         C        D  参考答案： C 4. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是（     ） （A）       （B）       （C）     （D） 参考答案： D 对A:定义域为 ，函数为非奇非偶函数，排除A； 对B:为奇函数, 排除B； 对C:在上单调递减, 排除C；故选D   5. △ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 参考答案： B 【考点】解三角形． 【专题】计算题． 【分析】先把1代入方程，然后利用余弦的二倍角化简整理，最后利用两角和公式求得cos（A﹣B）=1推断出A=B，则可知三角形的形状． 【解答】解：依题意可知1﹣cosAcosB﹣cos2=0， ∵cos2=== ∴1﹣cosAcosB﹣=0，整理得cos（A﹣B）=1 ∴A=B ∴三角形为等腰三角形． 故选B 【点评】本题主要考查了解三角形和三角形的形状判断．解三角形常与三角函数的性质综合考查，应注意积累三角函数的基本公式． 6. 已知数列{an}是一个递增数列，满足，，，则（    ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 参考答案： B 【分析】 代入n=1，求得=1或=2或=3，由数列是一个递增数列，满足分类讨论求得结果. 【详解】当n=1时，则=2，因为， 可得=1或=2或=3， 当=1时，代入得舍去； 当=2时，代入得 ，即=2，， ，又是一个递增数列，且满足 当=3时，代入得不满足数列是一个递增数列，舍去. 故选B. 【点睛】本题考查数列递推式，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中档题． 7. 对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 (　　) A．1　　          　　B．2　　         C．3　　    　　 D．4 参考答案： A 略 8. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　) A． a2  B．a2 C． 2a2 D．2a2 参考答案： C 9. 幂函数的图像经过点，则的值为 （   ）                          A.               B.4               C.9 D.16 参考答案： C 略 10. 数列{an}的通项公式an=ncos，其前项和为Sn，则S2013等于（　　） 　 A． 1006 B． 2012 C． 503 D． 0 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式的解集为，则实数的取值范围是            参考答案： 12. 已知关于x的不等式的解集是，则不等式的解集为_________ 参考答案： 【分析】 根据不等式解集与对应方程根的关系求关系，再代入化简求不等式解集. 【详解】因为的解集是， 所以为的两根，且， 即 因此， 即不等式的解集为. 【点睛】本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属中档题. 13. 已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝{－1,0,1}，B＝{－2，－1,0}，则A∩(?UB)＝____________. 参考答案： {1} 14. 矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿AC将矩形ABCD折成一个三棱锥D—ABC，当三棱锥的体积最大时,它的外接球的体积为________________ 参考答案： 15. 下列叙述正确的序号是              （1）对于定义在R上的函数，若，则函数不是奇函数；  (2) 定义在上的函数，在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数在上是单调增函数；   (3) 已知函数的解析式为=，它的值域为，那么这样的函数有9个； （4）对于任意的，若函数，则 参考答案： 略 16. 某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于　  　． 参考答案： 1 【考点】程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可解得a的值． 【解答】解：模拟执行程序，可得 n=1，x=a 满足条件n≤3，执行循环体，x=2a+1，n=2 满足条件n≤3，执行循环体，x=2（2a+1）+1=4a+3，n=3 满足条件n≤3，执行循环体，x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4 不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为15． 所以：8a+7=15，解得：a=1． 故答案为：1 17. 函数y=的定义域是_______________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设数列满足，，其中． （1）证明：对一切，有；     （2）证明： 参考答案： 证明 ： （1）在已知关系式中，令，可得； 令，可得                         ① 令，可得            ② 由①得，，，， 代入②，化简得．                  ----------------------------7分 （2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此． 于是． 因为，所以 ．   ------------------14分 19. 已知函数f（x）=Asin（ωx+θ）+1，（A＞0，0＜θ＜π），振幅为1，图象两个相邻最高点间距离为π，图象的一条对称轴方程为，若将f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位得到函数g（x）图象． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC中，若，试判断△ABC的形状． 参考答案： 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）根据振幅求A，由周期求ω，根据图象的对称轴方程求出θ，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的增区间． （2）先由y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用三角恒等变换判断三角形的形状． 【解答】解：（1）由题意可得A=1， =π，∴ω=2， 再根据图象的一条对称轴方程为，可得2+θ=kπ+，k∈Z， 即θ=kπ+，∴θ=，f（x）=sin（2x+）+1． 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+， 故函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z． （2）将f（x）的图象向右平移个单位，可得y=sin[2（x﹣）+]+1=sin2x+1的图象； 再向下平移一个单位得到函数g（x）=sin2x的图象． 在△ABC中，若，则sinBsinC==， 即2sinBsinC=1﹣cos（B+C）=1﹣cosBcosC+sinBsinC， 化简可得 cos（B﹣C）=1． 再结合B﹣C∈（﹣π，π），可得B=C，故△ABC为等腰三角形． 【点评】本题主要考查由由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角恒等变换，属于中档题． 20. （本题满分12分）已知函数， （Ⅰ）作出函数的简图，写出函数的单调递增区间； （Ⅱ）求在闭区间上最大值； 参考答案： 函数的递增区间为； 21. （本小题满分16分）已知数列中，，，其前项和满足, 其中（，）． （1）求数列的通项公式； （2）设为非零整数，）， 试确定的值，使得对任意，都有成立． 参考答案： 解：（1）由已知，（，）， 即（，），且． ∴数列是以为首项，公差为1的等差数列． ∴． （2）∵，∴，要使恒成立， ∴恒成立， ∴恒成立， ∴恒成立． （ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴． （ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，∴． 即，又为非零整数，则． 综上所述，存在，使得对任意，都有． 略 22. 集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B=?，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】集合关系中的参数取值问题． 【专题】计算题． 【分析】①当A=?时，a﹣1≥2a+1，解得a的取值范围．②当A≠?时，有 或 ，由此求得实数a的取值范围，再把这两个范围取并集，即得所求． 【解答】解：∵集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，A∩B=?， ①当A=?时，a﹣1≥2a+1，解得a≤﹣2． ②当A≠?时，有 或 ． 解得﹣2＜a≤﹣，或 a≥2． 综上可得a≤﹣，或 a≥2，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）． 【点评】本题主要考查集合中参数的取值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．