湖北省武汉市育才美术中学高二数学理下学期期末试题含解析

湖北省武汉市育才美术中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 为了得到函数的图象，只需要把函数的图 象上所有的点  （      ） A．向右平移     B．向右平移    C．向左平移   D．向左平移 参考答案： A 2.        （   ） A.  1         B.  2       C.         D.  参考答案： A 略 3. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是   A、①、②           B、①、③           C、③、④           D、①、④ 参考答案： C 略 4. 已知命题，则为（    ） A．                 B．           C．                 D． 参考答案： CA 5. 若A（﹣2，3），B（1，0），C（﹣1，m）三点在同一直线上，则m=（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 参考答案： D 【考点】三点共线． 【专题】计算题；方程思想；转化思想；直线与圆． 【分析】分别求出直线AB和BC的斜率，根据斜率相等求出m的值即可． 【解答】解：∵KAB==﹣1，KBC=， 若A（﹣2，3），B（1，0），C（﹣1，m）三点在同一直线上， 则=1，解得：m=2， 故选：D． 【点评】本题考察了直线的斜率问题，是一道基础题． 6. （多选题）有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（    ） A. 两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大 B. 对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C. 从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病 D. 从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关 参考答案： ABD 【分析】 观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，选项正确；根据独立性检验，观测值越小，两个有关系的可信度越低，选项正确；独立性检验的结论适合于群体的可能性，不能认为是必然情况，选项不正确；根据独立性的解释，选项正确. 【详解】选项，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大， 则观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项正确； 选项，根据的观测值越小，原假设“X与Y没关系”成立的可能性越大， 则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项正确； 选项，从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关， 不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项不正确； 选项，从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关， 是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关， 是独立性检验的解释，所以选项正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查独立性检验概念辨析、观测值与独立性检验的关系，意在考查概念的理解，属于基础题. 7. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为4，点H在棱DD1上，点I在棱CC1上，且HD=CI=1.在侧面BCC1B1内以C1为一个顶点作边长为1的正方形EFGC1，侧面BCC1B1内动点P满足到平面CDD1C1距离等于线段PF长的倍，则当点P运动时，三棱锥A-HPI的体积的最小值是(   ) A.                    B. C.                           D. 参考答案： B 8. 已知方程|lnx|=kx+1在（0，e3）上有三个不等实根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点， 依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可． 作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象，利用数形结合的思想求解即可 【解答】解：令f（x）=kx+1，g（x）=lnx，∵y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点， 依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可． 作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象如下                                                设直线f（x）=kx+1与g（x）=lnx相切于点（a，b）；则?k=e﹣2 且对数函数g（x）=lnx的增长速度越来越慢，直线f（x）=kx+1过定点（0，1） 方程|lnx|=kx+1中取x=e3得k=2e﹣3，∴则实数k的取值范围是 2e﹣3＜k＜e﹣2． 故选：C 9. f′（x0）=0是可导函数y=f（x）在点x=x0处有极值的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的极值；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】函数y=f（x）在点x=x0处有极值，则f′（x0）=0；反之不一定，举例反f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是函数f（x）在x=0处没有极值．即可判断出． 【解答】解：若函数y=f（x）在点x=x0处有极值，则f′（x0）=0； 反之不一定，例如取f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是函数f（x）在x=0处没有极值． 因此f′（x0）=0是可导函数y=f（x）在点x=x0处有极值的必要非充分条件． 故选：B． 【点评】本题考查了函数取得极值的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10. 双曲线-=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(    ) A．           B．            C．2            D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，在边长为的正方体中， 分别是的中点， 是的中点，在四边形上及其内部运动，若平面，则点轨迹的长度是_________； 参考答案： 12. 点P是抛物线上任意一点，则点P到直线距离的最小值是          ；距离最小时点P的坐标是          ． 参考答案： （2，1） 设，到直线的距离为，画出的图象如下图所示，由图可知，当时有最小值，故的最小值为，此时点的坐标为.   13. 设，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是          ． 参考答案： 试题分析：因为，所以函数是增函数，由函数在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，且当时函数值为正，所以，解得，所以实数的取值范围是． 考点：对数函数的性质． 【方法点晴】本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，解答本题的关键是根据复数函数的单调性判断出内层函数的单调性，由二次函数的性质得出参数的不等式组，即可求解参数的取值范围，其中本题的一个易错点是忘记真数为正数，导致答案出错，解答知要注意等价的转化，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题． 14. 函数的图像在点处的切线方程是，则等于_________. 参考答案： 2 15. 如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， 点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2 的值是              参考答案： 16. 《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把10磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为　　磅． 参考答案： 【考点】等差数列的性质． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】设此等差数列为{an}，公差为d，可得d=10，（a3+a4+a5）×=a1+a2，解出即可得出． 【解答】解：设此等差数列为{an}，公差为d， 则d=10，（a3+a4+a5）×=a1+a2，即=2a1+d． 解得a1=，d=． 故答案为：． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 某省工商局于2014年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的饮料的概率是_______（用数字作答）． 参考答案： 0.64 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）        如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角的余弦值。 参考答案： 证明：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（－2，4，0），D（－2，0，0），P（0，0，4），易证为面PAC的法向量，则        设面PBC的法向量，        ，        所以        所以面PBC的法向量        ∴        因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，所以二面角B－PC－A的余弦值为。 19. 已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l． （1）当a=2，b=﹣3时，求F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值； （2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；分析法和综合法． 【分析】（1）由a=2，b=﹣3，知，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值． （2）设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）＞2． 【解答】解：（1）∵， ， x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增， x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减， ∴F（x）max=F（1）=2 （2）不妨设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证， ，， ∵， ∴，即，∴， 令，x∈（x1，+∞）．只需证， ，令，则，G（x）在x∈（x1，+∞）单调递增． G（x）＞G（x1）=0，∴H′（x）＞0，∴H（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．H（x）＞H（x1）=0， H（x）=（x+x1）ln﹣2（x﹣x1）＞0，∴（x1+x2）g（x1+x2）＞2． 20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）． （1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式． 参考答案： 【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理． 【分析】（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn． （2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有Sk=，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可． 【解答】解：（1）：∵a1=