湖北省荆州市少年儿童体育学校高一数学理月考试题含解析

湖北省荆州市少年儿童体育学校高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的单调递增区间是（    ） A. B. C. D. ， 参考答案： B 【分析】 先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和的单调性,结合复合函数的单调性的判断可得出选项. 【详解】因为，所以或，即函数定义域为， 设，所以在上单调递减，在上单调递增， 而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为. 故选：B． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题. 2. 半径为R的球的内接正方体的表面积是                               (     )    A.           B.            C.          D. 参考答案： D 3. 设、、是非零向量，则下列命题中正确是        （    ） A．           B． C．若，则       D．若，则 参考答案： D 略 4. （5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（） A． {0} B． {0，1} C． {0，2} D． {0，1，2} 参考答案： C 考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集． 解答： ∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}， ∴A∩B={0，2} 故选C 点评： 本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键． 5. 已知、、为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若则∥； ②若则；③若∥则.  其中正确的个数为（    ） A．个           B．个            C． 个          D． 个 参考答案： B 6. 下列结论中正确的是(      ) A.小于90°的角是锐角            B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同                  D.终边相同的角一定相等 参考答案： C 7.   如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，是的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持．则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可有是图中的  (　　) 参考答案： A 略 8. 已知，则下列不等式正确的是：（   ）    A.       B.       C.      D. 参考答案： B 略 9. a=log2，b=（）0.2，c=2，则(     ) A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c 参考答案： D 【考点】对数值大小的比较． 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a=log2＜0，0＜b=（）0.2＜1，c=2＞1， ∴c＞b＞a， 故选：D． 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10. 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x 取值范围是（　　） A．（，） B．[，） C．（，） D．[，） 参考答案： A 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|）， ∴不等式等价为f（|2x﹣1|）， ∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增， ∴，解得． 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数h（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上是减函数，则k的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，40] 【考点】二次函数的性质． 【分析】利用二次函数的性质列出不等式，由此求得k的取值范围． 【解答】解：由于二次函数h（x）=4x2﹣kx﹣8的对称轴为x=，开口向上， 且在[5，20]上是减函数，∴≤5，求得k≤40， 故答案为：（﹣∞，40]． 12. 下列说法： ①正切函数y=tanx在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角为2rad； ⑤若α是第三象限角，则取值的集合为{﹣2，0}， 其中正确的是　　．（写出所有正确答案的序号） 参考答案： ②③④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①，正切函数y=tanx在（kπ﹣，kπ+）k∈Z内是增函数； ②，函数=﹣在判断； ③，验证当时，函数是否取最值； ④，由2r+l=8， =4，德l=4，r=2，即可得扇形的圆心角的弧度数； ⑤，若α是第三象限角，则在第二、四象限，分别求值即可， 【解答】解：对于①，正切函数y=tanx在（kπ﹣，kπ+）k∈Z内是增函数，故错； 对于②，函数=﹣是奇函数，故正确； 对于③，∵当时函数取得最小值，故正确； 对于④，设扇形的弧长为l，半径为r，所以2r+l=8， =4， 所以l=4，r=2，所以扇形的圆心角的弧度数是： =2．故正确； 对于⑤，若α是第三象限角，则在第二、四象限，则取值的集合为{0}，故错， 故答案为：②③④ 13. 函数f(x)＝ (x2－2x－3)的单调递增区间是__________． 参考答案： 14. 已知函数. 若给出下列四个区间：；；；，则存在反函数的区间是_______________.（将所有符合的序号都填上） 参考答案： 略 15. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b以及实数x确定实际销售价格，这里x被称为乐观系数。经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得最佳乐观系数x的值为             。 参考答案： 16. 设函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=　    　． 参考答案： ﹣1 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】因为函数为偶函数，则根据偶函数定义f（﹣x）=f（x）得到等式解出a即可． 【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1） 得：2（1+a）=0 ∴a=﹣1． 故答案为：﹣1． 17. 已知函数f（x）=logax+x﹣b（a＞0且a≠1），当3＜a＜4＜b＜5时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*，则n=　　． 参考答案： 3 根据a，b的范围判断f（3），f（4）的符号，从而得出零点x0的范围． 解：∵3＜a＜4＜b＜5， ∴0＜loga3＜1，1＜loga4＜2，﹣2＜3﹣b＜﹣1，﹣1＜4﹣b＜0， ∴f（3）=loga3+3﹣b＜0，f（4）=loga4+4﹣b＞0， ∴f（x）在（3，4）上存在零点． 故答案为3． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.        参考答案： 略 19. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： (1) (2) 【分析】 (1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，(2)根据错位相减法求结果. 【详解】(1)因为，所以当时， ,相减得 ， ，当时， ，因此数列 为首项为，2为公比的等比数列， (2),所以， 则2， 两式相减得 . 【点睛】本题考查错位相减法求和以及由和项求通项，考查基本求解能力，属中档题. 20. 斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点，交椭圆与AB两点，求弦长AB，及三角形OAB的面积． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意方程求出椭圆的右焦点坐标，写出直线l的方程，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出坐标原点到直线l的距离，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：由+y2=1，得a2=4，b2=1， ∴c2=a2﹣b2=3，则c=． ∴椭圆的右焦点F（）， 则直线l的方程为y=x﹣． 联立，得． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则． ∴=； O到直线AB的距离为d=． ∴． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的位置关系的应用，是中档题． 21. 设是定义在上的增函数，令 （1）求证时定值；高@考@资@源@网（2）判断在上的单调性，并证明； （3）若，求证。 参考答案： 解：（1）∵ ∴为定值  ……………… 3分 （2）在上的增函数  ……………… 4分设，则 ∵是上的增函数∴，  ……………… 6分高@考@资@源@网故 即，∴在上的增函数  ……………… 8分（3）假设，则  ……………… 9分 故 又 ∴，与已知矛盾  ……………… 11分 ∴  ……………… 12分 22. （本小题满分12分） 如图，DC⊥平面ABC，EB // DC，AC =BC = EB = 2DC=2，∠ACB＝120°， P，Q分别为AE，AB的中点。 (1)证明：PQ //平面ACD；    (2)求AD与平面ABE所成角的正弦值。 参考答案： 解：（1）因为P，Q分别为 AE，AB的中点，       所以PQ//EB．又DC//EB，因此PQ//DC，       从而PQ//平面ACD．……………………………………………5分      （2）如图，连接CQ， DP.     因为Q为AB的中点，且AC =BC，所以CQ⊥ AB.     因为DC⊥ 平面ABC，EB//DC，         所以EB⊥ 平面ABC.     因此CQ⊥ EB     故CQ⊥ 平面ABE.     由（1)有PQ//DC，又PQ＝EB＝DC，     所以四边形CQPD为平行四边形，     故DP// CQ ，     因此DP ⊥平面ABE，∠ DAP为AD和平面ABE所成的角．     在Rt ?DPA中，AD＝，DP＝1，     sin ∠ DAP＝     因此AD和平面ABE所成角的的正弦值为………………12分 略