湖北省荆州市荆南高级中学2022年高一数学理联考试题含解析

湖北省荆州市荆南高级中学2022年高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 不等式的解集为，则实数a、b的值为（ ） A. B. C. D. 参考答案： C 【详解】不等式的解集为， 为方程的两根， 则根据根与系数关系可得， . 故选C. 考点：一元二次不等式；根与系数关系. 2. 在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是(　　) 　A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大 B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小 C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等 D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关 参考答案： C 略 3. 已知，则等于（  ） A. －36 B. －10 C. －8 D. 6 参考答案： C 【分析】 直接利用向量的数量积的坐标表示计算得解. 【详解】由题得=3×（-6）+(-5)×（-2）=-8. 故答案为：C 【点睛】本题主要考查数量积的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4. 设集合，，则（     ）     A      B       C      D  参考答案： C 5. 已知两直线y=2x与x+y+a=0相交于点A（1，b）,则点A到直线ax+by+3=0的距离为   (A)      (B)       （C)  4     （D)   参考答案： B 6. 如果且，则角的所在的象限为（      ） A．第一象限     B．第二象限    C．第三象限     D．第四象限 参考答案： D 略 7. 已知全集，，，，则集合C=（    ）． A． B． C． D． 参考答案： B 解:∵全集，，， ∴， ∴． 故选． 8. （5分）如图给出了函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是（） A． ①②③④ B． ①③②④ C． ②③①④ D． ①④③② 参考答案： B 考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由二次函数的图象为突破口，根据二次函数的图象开口向下得到a的范围，然后由指数函数和对数函数的图象的单调性得答案． 解答： 由图象可知y=（a﹣1）x2为二次函数，且图中的抛物线开口向下， ∴a﹣1＜0，即a＜1． 又指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1， ∴y=ax为减函数，图象为①；y=logax为减函数，图象为③；y=log（a+1）x为增函数，图象为②． ∴与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是①③②④． 故选B． 点评： 本题考查了基本初等函数的图象和性质，是基础的概念题． 9. 函数的最小正周期为（  ） A. 2π         B.π         C.3π       D.均不对 参考答案： B 因为，则，则是函数的周期；而，故也是函数的周期；则选项可以排除，又题目要求最小正周期，所以排除，综上选B   10. 已知锐角的面积为，，则角的大小为（   ） A. 75°               B. 60°               C. 45°             D.30° 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是第二象限的角，且，则的值等于____________. 参考答案： 12. 函数f（x）=（x﹣x2）的单调递增区间是　　． 参考答案： [，1） 【考点】复合函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】令t=x﹣x2＞0，求得函数的定义域为（0，1），且f（x）=，本题即求函数t在（0，1）上的减区间． 再利用二次函数的性质可得结论． 【解答】解：令t=x﹣x2＞0，求得0＜x＜1，故函数的定义域为（0，1），且f（x）=， 故本题即求函数t在（0，1）上的减区间． 再利用二次函数的性质可得函数t在（0，1）上的减区间为[，1）， 故答案为：[，1）． 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 13. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为          ． 参考答案： 14. 已知，则 _________________. 参考答案： 略 15. 若幂函数的图像经过点，则的值是     . 参考答案： 2 16. 已知函数，且，则         . 参考答案： -26 17. 在△ABC中，如果，那么                ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （1）求f（x）的值域和最小正周期； （2）方程f（x）=m在内有解，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象． 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； （2）内有时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得f（x）的值域．即得实数m的取值范围． 【解答】解：函数． 化简可得：f（x）=2cos（x+）?sin（x+）﹣×2cos2（x+）=sin（2x+）cos（2x+） =2sin（2x+）﹣ （1）∵﹣1≤sin（2x）≤1． ∴﹣2﹣≤2sin（2x）﹣≤2﹣， 最小正周期T==π， 即f（x）的值域为，最小正周期为π． （2）当x∈时， ∴2x+∈[]， 故sin（2x+）∈[]， 即实数m的取值范围是[]． 【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题． 19. 国家为了鼓励节约用水，实行阶梯用水收费制度，价格参照表如表： 用水量（吨） 单价（元/吨） 注 0～20（含） 2.5   20～35（含） 3 超过20吨不超过35吨的部分按3元/吨收费 35以上 4 超过35吨的部分按4元/吨收费 （Ⅰ）若小明家10月份用水量为30吨，则应缴多少水费？ （Ⅱ）若小明家10月份缴水费99元，则小明家10月份用水多少吨？ （Ⅲ）写出水费y与用水量x之间的函数关系式，并画出函数的图象． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（Ⅰ）小明家10月份用水量为30吨，在第二档，可得结论； （Ⅱ）第一档最多为50元，二档最多为50+（35﹣20）×3元=95元，可得用水量在第三档内，即可得出结论； （Ⅲ）利用所给条件，即可写出水费y与用水量x之间的函数关系式，并画出函数的图象． 【解答】解：（Ⅰ）20×2.5+（30﹣20）×3=80       … （Ⅱ）第一档最多为50元 第二档最多为50+（35﹣20）×3元=95元 ∴用水量在第三档内，99﹣95=4，4÷4=1 ∴用水量为35+1=36吨．… （Ⅲ）0＜x≤20时，f（x）=2.5x； 20＜x≤35时，f（x）=20×2.5+（x﹣20）×3=3x﹣10； x＞35时，f（x）=20×2.5+（35﹣20）×3+（x﹣35）×4=4x﹣45； ∴f（x）=． 函数的图象如图所示． 20. 求满足下列条件的曲线方程： （）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线． （）经过点和，圆心在轴上的圆． 参考答案： 解：（）由，解得，， ∴点的坐标是， ∵所求直线与垂直， ∴可设直线的方程为． 把点的坐标代入得，即． ∴所求直线的方程为， 即． （）∵圆的圆心在轴上，设圆心为， 由圆过点和， 由可得，即，求得， 可得圆心为，半径为，故圆的方程为． 21. 某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系（计算结果精确到0.1）： x（百元） 5 6.5 7 8.5 9 y（件） 12 8 7 2 1   （1）求y关于x的回归直线方程； （2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元时，日利润最大？（附相关公式：，） 参考答案： （1）；（2）销售单价为百元（精确到个位数）时，日利润最大. 试题分析：（1）根据已知中的数据，利用最小二乘法，可得，之间的线性回归方程；（2）根据（1）中回归方程，求出日销售量，进而求出日利润，结合二次函数的图象和性质，可得答案. 试题解析：（1）因为，， 所以，， ， 于是得到关于的回归直线方程. （2）销售价为时的利润为， 当时，日利润最大. 考点：线性回归方程. 【方法点晴】本题考查的知识点是相关系数，回归方程，熟练掌握最小二乘法的计算步骤，是解答的关键；线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析． 22. （本小题满分12分） 如图，已知斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直， (1)求侧棱与底面ABC所成的角； (2)求侧面与底面ABC所成的角； (3)求顶点C到平面的距离. 参考答案： (1)解：作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC ∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角    ……………………2分 ∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C， ∴∠A1AD＝45°为所求.             ……………………4分 (2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB， ∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角. ……………………6分 由已知，AB⊥BC，得ED∥BC又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2， ∴DE＝1，AD＝A1D＝，tan∠A1ED＝＝． 故∠A1ED＝60°为所求.      ……………………8分 (3)方法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离. 连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB. 又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED， ∴∠HBC＝∠A1ED＝60° ∴CH＝BCsin60°＝为所求. 方法二：连结A1B. 根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h. 由V锥C－A1AB＝V锥A1－ABC得S△AA1B·h＝S△ABC·A1D，……………………10分 即×2h＝×2×3   ∴h＝为所求.  ……………………12分