湖北省荆州市监利县汪桥高级中学2023年高三数学理测试题含解析

湖北省荆州市监利县汪桥高级中学2023年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数 A．    B．  C．    D． 参考答案： C            2. 公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则=（     ） A.1           B.2       C. 4        D.8 参考答案： A 3. 如图是某算法的程序框图，若输出的b值为32，则判断框内①应填（　　） A．4？ B．5？ C．6？ D．7？ 参考答案： B 【考点】程序框图．  【专题】算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的b，a的值，当b=32，a=6时，应该不满足条件，退出循环，输出b的值为32，可得判断框内①应填a≤5． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，b=1 满足条件，b=2，a=2 满足条件，b=4，a=3 满足条件，b=8，a=4 满足条件，b=16，a=5 满足条件，b=32，a=6 此时，应该不满足条件，退出循环，输出b的值为32． 故判断框内①应填a≤5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，由退出循环时a的值判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 4. 某市乘坐出租车的收费办法如下： 不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元． 相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用． 【专题】应用题；函数的性质及应用；算法和程序框图． 【分析】根据已知中的收费标准，求当x＞4时，所收费用y的表达式，化简可得答案． 【解答】解：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）； 当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元． 可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+]×2+1=， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数模型的选择与应用，难度中档． 5. 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 参考答案： C 【考点】茎叶图． 【分析】利用平均数求出m的值，中位数求出n的值，解答即可． 【解答】解：∵甲组学生成绩的平均数是88， ∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3 又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9， ∴m+n=12． 故选：C． 6. 函数的反函数是 A．                B. C．               D. 参考答案： D 略 7. 在等差数列｛an｝中，，公差，若前n项和Sn取得最小值，则n的值为（  ）                                                                                       7           8            7或8           8或9 参考答案： C ,由得，即。即，当时，。所以要使Sn取得最小值，则有最小，选C. 8. 已知集合，则集合N的真子集个数为（   ） A．3；B．4 C．7 D．8 参考答案： B 9. 若实数x，y满足条件则z=﹣的最大值为（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出直线4x+3y=0平行的直线过可行域内A点时z有最大值，把C点坐标代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作可行域如图， 由z=﹣的最大值可知，4x+3y取得最大值时， z取得最大值， 与4x+3y=0，平行的准线经过A时，即： 可得A（1，2），4x+3y取得最大值，故z最大， 即：zmax==． 故选：C． 10. 在平面直角坐标系 xOy中，设不等式组 ，表示的平面区域为D，在D内任取一整点P（横、纵坐标都是整数）测P落在区域 内的概率为   ( A)             (B)          (C)         (D) 参考答案： 【知识点】线性规划   E5 C 解析：根据可行域可知在区域D内的整点共有12个点，而落在区域内的点有5个所以概率为，所以C正确 【思路点拨】可以通过列举法写出可行域中的点，再求出概率. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是虚数单位,则______. 参考答案： 12. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为          ． 参考答案： 721 略 13. 记集合A={(x,y)︱x2+y2≤16}，集合B={(x,y)︱x+y-4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2．若在区域Ω1内任取一点P(x,y)，则点落在区域Ω2中的概率为____． 参考答案： 如图，集合A表示的点集是圆内部（含边界），集合表示的点集是直线下方的弓形区域，， ，因此所求概率为． 14. 已知数列，满足，，（）， 则_________. 参考答案： 略 15. 设，则的值为 . 参考答案： 2 16. 已知水平放置的的直观图（斜二测画法）是边长为的正三角形，则原的面积为                     参考答案：   17. （5分）（2015?枣庄校级模拟）已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为　　． 参考答案： 14π 【考点】： 球内接多面体；球的体积和表面积． 【专题】： 计算题． 【分析】： 用长方体的对角线的公式，求出长方体的对角线长，即为外接球的直径，从而得到外接球的半径，用球的表面积公式可以算出外接球的表面积． 解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3， ∴长方体的对角线长为：= ∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径 ∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=14π 故答案为：14π 【点评】： 本题给出长方体的长、宽、高，求长方体外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积公式，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数使对任意正整数都成立． （1）       现在给出只有5项的有限数列其中； 试判断数列是否为集合的元素； （2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围； （3）设数列且对满足条件②中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列． 参考答案： 【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用. （2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题. （3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明. 【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念. （2）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念. （3）方程与代数/数列与数学归纳法/数学归纳法. 【参考答案】（1）对于数列不满足集合的条件①，数列不是集合中的元素. 对于数列， 而且，当时有显然满足集合的条件①②，故数列是集合中的元素. -------------------4分 （2）因为点在直线上，所以  ①， 当时，有 ②， ①②，得所以，当时，有 又所以 因此，对任意正整数都有所以，数列是公比为的等比数列，故 对任意正整数都有且故实数的取值范围是实数的取值范围是-------------------10分 （3）假设数列不是单递增数列，则一定存在正整数使------12分 此时，我们用数学归纳法证明：对于任意的正整数当时都有成立. ①时，显然有成立； ②假设时， 则当时，由可得从而有所以 由①②知，对任意的都有-----------------------------------------16分 显然这个值中一定有一个最大的，不妨记为于是从而与已知条件相矛盾. 所以假设不成立，故命题得证．------------------------------------------18分 19. 设不等式的解集为,且,. (1)求的值;(2)求函数的最小值. 参考答案： (Ⅰ)因为,且,所以,且 解得,又因为,所以 (Ⅱ)因为 当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为 20. (本小题满分14分)   已知四棱锥的正视图是一个底边长为、腰长为的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥的侧视图和俯视图. （1）求证：； （2）求四棱锥的侧面的面积. 参考答案： （本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：依题意，可知点在平面上的正射影是线段的中点，连接，            则平面.                                 …………… 2分        ∵平面，        ∴.                                           …………… 3分        ∵，平面，平面，        ∴平面.                                      …………… 5分        ∵平面，        ∴.                                            …………… 6分 （2）解：依题意，在等腰三角形中，，，        在Rt△中，，…………… 7分        过作，垂足为，连接， ∵平面，平面， ∴.                     …………… 8分 ∵平面，平面，， ∴平面.                …………… 9分 ∵平面， ∴.                    …………… 10分 依题意得.         …………… 11分 在Rt△中， ，              …………… 12分 ∴△的面积为. ∴四棱锥的侧面的面积为.                 …………… 14分 21. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=2，CD=3，M为PC上一点，PM=2MC．