湖北省荆门市理工职业高级中学2022年高三数学理期末试卷含解析

湖北省荆门市理工职业高级中学2022年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），f'（x）是f（x）的导函数，若f（α）=0，f'（α）＞0，且f（x）在区间[α， +α）上没有最小值，则ω取值范围是（　　） A．（0，2） B．（0，3] C．（2，3] D．（2，+∞） 参考答案： C 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】由题意，＜≤T，即可得出结论． 【解答】解：由题意，f（α）=0，f'（α）＞0， 且f（x）在区间[α， +α）上没有最小值， ∴＜≤T， ∴＜≤?， ∴2＜ω≤3， 故选C． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 2. 如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟，瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完.则函数的图像为（      ）   参考答案： A 3. 梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AC交BD于O点，过O点的直线交AD、BC分别于E、F点， =m， =n，则+=（　　） A．2 B． C．1 D． 参考答案： B 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】根据题意，画出图形，得出==，不妨设EF∥AB，则EF∥DC，由此求出m、n的值，从而计算+的值． 【解答】解：如图所示， 梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB， 则==， 不妨设EF∥AB，则EF∥DC； 所以==， 所以=，同理=； 又=m， =n， 所以m=n=， 所以+=+=． 故选：B． 4. 若直线与函数的图像无公共点，则不等式的解集为（  ） A．         B． C.          D． 参考答案： B 与函数 的图象无公共点，且 ， ，即为 ，结合正切函数图象可得， ，不等式 的解集为 ，故选B.   5. 已知： 为单位向量，，且，则与的夹角是 （    ） A．      B.        C．         D. 参考答案： D 略 6. 已知函数的图象经过点,则该函数的一条对称轴方程为   （   ）  A .        B．         C．           D． 参考答案： A 略 7. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是   （    ）        A．                B．                C．                D． 参考答案： 答案：D 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A．  　　   B．   　　　  C．4       D． 参考答案： B 由三角形面积公式可得：，即，解得：， 结合余弦定理可得：，则 由正弦定理有：， 结合合分比定理可得： . 本题选择B选项.   9. 设函数，则(   ) A. 5 B. 8 C. 9 D. 17 参考答案： C 【分析】 根据根据分段函数的解析式，求得，进而可求解的值，得到答案. 【详解】由题意，函数，则， 所以，故选C. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10. 在《周易》中，长横“  ”表示阳爻，两个短横“ ”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况，即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C 在一次所谓“算卦”中得到六爻， 基本事件总数n=23=8， 这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件m=3， ∴这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是p=． 故选：C．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）=　   　． 参考答案： 0.8413 【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率． 【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1）， ∴正态曲线关于x=2对称， ∵P（ξ＞3）=0.1587， ∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413． 故答案为：0.8413 12. 已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，    则   ▲   . 参考答案： 13. 已知数列{an}中，Sn是前n项和，且Sn=2an+1，则数列的通项an=________． 参考答案： ﹣2n﹣1 略 14. 已知抛物线：，过点和的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是    ． 参考答案：   考点：直线与抛物线的位置关系． 【名师点睛】直线与抛物线位置关系有相交，相切，相离三种，判断方法是：把直线方程与抛物线方程联立方程组，消去一个未知数后得一个一元二次方程，相交，有两个交点，相切，有一个公共点，相离，无公共点，注意有一个公共点时不一定是相切，也能与对称轴平行，为相交． 15. 实数x、y满足不等式组，则z=的取值范围是_________.[－1,1) 参考答案： [－1,1) 16. 在行列式中，元素a的代数余子式值为         ． 参考答案： -1 17. 若函数的图象如图所示，是函数的导函数，且是奇函数，则下列结论中    ① ② ③ 正确的序号是                      . 参考答案： ①③ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点P（2，﹣1）． （ I）求椭圆C1的标准方程； （ II）设点Q为椭圆C2的下顶点，过点P作两条直线分别交椭圆C1于A、B两点，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率为定值，并且求出这个定值． 参考答案： 【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K4：椭圆的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（ I）求出离心率，结合椭圆经过的点，列出方程组求解a，b，即可求椭圆C1的标准方程； （ II）由直线PQ平分∠APB和Q（0，﹣1），P（2，﹣1）?kPQ=.0?kPA+kPB=0，而由直线AB：y=kx+m与椭圆联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理转化求解即可． 【解答】解：（ I）椭圆与椭圆有相同的离心率，可得e=， 椭圆经过点P（2，﹣1）．可得：，解得a2=8，b2=2． 椭圆； （ II）由直线PQ平分∠APB和Q（0，﹣1），P（2，﹣1）?kPQ=0?kPA+kPB=0， 而由直线AB：y=kx+m与， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由恒成立 直线AB的斜率为定值． 19. 已知函数f（x）＝ex＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）． （1）求a，b的值； （2）求函数g（x）的最小值； （3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1． 参考答案： （1）解：因为f′（x）＝ex＋2ax， 所以f′（1）＝e＋2a，切点为（1，e＋a）， 所以切线方程为y＝（e＋2a）（x－1）＋（e＋a）， 因为该切线过点（0，1），所以a＝－1． 又，g′（1）＝1＋b，切点为（1，1）， 所以切线方程为y＝（1＋b）（x－1）＋1，同理可得b＝－1． （2）解：由（1）知，g（x）＝x－lnx，， 所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0， 所以当x＝1时，g（x）取极小值，同时也是最小值， 即g（x）min＝g（1）＝1． （3）证明：由（1）知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e－2）x＋1． 下面证明：当x＞0时，f（x）≥（e－2）x＋1． 设h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，则h′（x）＝ex－2x－（e－2），再设k（x）＝h′（x），则k′（x）＝ex－2，所以h′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增． 又因为h′（0）＝3－e，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0， 所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0， 所以，当x∈（0，x0）∪（1，＋∞）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，1）时，h′（x）＜0． 故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增． 又因为h（0）＝h（1）＝0，所以h（x）＝f（x）－（e－2）x－1≥0， 当且仅当x＝1时取等号，所以ex－（e－2）x－1≥x2． 由于x＞0，所以． 又由（2）知，x－lnx≥1，当且仅当x＝1时取等号，所以，， 所以ex－（e－2）x－1≥x（1＋lnx），即ex－x2＋x（x－lnx）≥（e－1）x＋1， 即f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1． 20. 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为． （ I）求曲线C2的直角坐标系方程； （ II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）把变形，得到ρ=ρcosθ+2，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案； （Ⅱ）由（t为参数），消去t得到曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，把|M1M2|的最小值转化为M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），然后由点到直线的距离公式结合配方法求解． 【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）； （Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0． ∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0． ∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点， ∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值． 设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d， 则d==≥． ∴|M1M2|的最小值为． 21. 已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率，直线与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2，点M是椭圆上异于A1,A2的任意一点，直线MA1,MA2的斜率分别为.证明：为定值. 参考答案： （1）设椭圆的方程为. 离心率. 直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切， . 椭圆的方程为. （2）证明：由椭圆的方程得， 设点的坐标为，则. . . 为定值. 22. 已知数列{an}与{bn}，若a