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湖北省荆门市官庄湖中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,设函数的最大值为M,最小值为N,那么()
A. 2020 B. 2019 C. 4040 D. 4039
参考答案:
D
【分析】
通过分离分子可得,计算可得,利用函数的单调性计算可得结果.
【详解】解:,
又是上的增函数,,故选D.
【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用,注意解题方法的积累,考查运算能力,属于中档题.
2. 正项等比数列{an}中,a2016=a2015+2a2014,若aman=16a12,则+的最小值等于( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
B
【考点】7F:基本不等式;88:等比数列的通项公式.
【分析】设正项等比数列{an}的公比为q,(q>0),运用等比数列的通项公式,解方程可得q=2,由条件可得m+n=6,运用乘1法和基本不等式,计算即可得到所求最小值.
【解答】解:设正项等比数列{an}的公比为q,(q>0),
由a2016=a2015+2a2014,得q2=q+2,
解得q=2或q=﹣1(舍去).
又因为aman=16a12,即a12?2m+n﹣2=16a12,
所以m+n=6.
因此
=≥(5+2)=,
当且仅当m=4,n=2时,等号成立.
故选:B.
【点评】本题考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,考查等比数列的通项公式,考查运算能力,属于中档题.
3. 将函数的图像向左平移个单位长度后,所得图像关于y轴对称,则的值可能为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
先化简函数的解析式,再平移得到函数,再根据函数的对称性得解.
【详解】由题得,
将函数的图像向左平移个单位长度后得到,
由题得,
当k=0时,.
故选:D
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换,考查函数奇偶性的应用,考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4. 已知全集{1,2,3,4,5,6},{2,3,5},{4,5},则集合{1,6}=( )
A.∪ B.∩ C.∪ D.∩
参考答案:
C
∪={2,3,4,5},所以{1,6}=∪,选择C。
5. 已知是奇函数,且时,( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
6. 设随机变量,,若,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
,
.
7. 已知平面α∩β=l,m是α内不同于l的直线,那么下列命题中错误的是( )
A. 若m∥β,则m∥l B. 若m∥l,则m∥β
C. 若m⊥β,则m⊥l D. 若m⊥l,则m⊥β
参考答案:
D
【分析】
A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交,一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.
【详解】A选项是正确命题,由线面平行的性质定理知,可以证出线线平行;
B选项是正确命题,因为两个平面相交,一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面;
C选项是正确命题,因为一个线垂直于一个面,则必垂直于这个面中的直线;
D选项是错误命题,因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线,不能推出它垂直于这个平面;
故选:D.
【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系,还考查了推理论证的能力,属于中档题.
8. 已知函数f(x)=x+,若对任意x∈R,f(x)>ax恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,1﹣e) B.(1﹣e,1] C.[1,e﹣1) D.(e﹣1,+∞)
参考答案:
B
【分析】根据题意,不等式x+>ax恒成立化为>(a﹣1)x恒成立;
设g(x)=,h(x)=(a﹣1)x,x∈R;
在同一坐标系内画出两个函数的图象,满足不等式恒成立的是h(x)的图象在g(x)图象下方,
求出过原点的g(x)的切线方程,得出切线斜率k,从而求出a的取值范围.
【解答】解:函数,对任意x∈R,f(x)>ax恒成立,
∴x+>ax恒成立,
即>(a﹣1)x恒成立;
设g(x)=,h(x)=(a﹣1)x,x∈R;
在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示;
则满足不等式恒成立的是h(x)的图象在g(x)图象下方,
求g(x)的导数g′(x)=﹣e﹣x,
且过g(x)图象上点(x0,y0)的切线方程为
y﹣y0=﹣(x﹣x0),
且该切线方程过原点(0,0),
则y0=﹣?x0,
即=﹣?x0,
解得x0=﹣1;
∴切线斜率为k=﹣=﹣e,
∴应满足0≥a﹣1>﹣e,
∴1﹣e<a≤1,
∴实数a的取值范围是(1﹣e,1].
故选:B.
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题,也考查了利用导数求函数的切线问题,是综合性题目.
9. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中记载有很多数列问题,如“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈. 问日益几何.”意思是:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加( )(其中1匹=4丈,1丈=10尺,1尺=10寸)
A.5寸另寸 B.5寸另寸 C.5寸另寸 D.5寸另寸
参考答案:
A
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】设该妇子织布每天增加d尺,由等差数列前n项和公式能求出d,再把尺换算成寸即可.
【解答】解:设该妇子织布每天增加d尺,
由题意知,
解得d=尺.
尺=寸=5寸另寸.
故选:A.
10. 等边三角形ABC中,AB=2,E,F分别是边AB,AC上运动,若,则EF长度的最小值为( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
A
【考点】余弦定理.
【分析】利用正弦定理、三角形的面积公式求得AE?AF=,再利用余弦定理、基本不等式,求得EF长度的最小值.
【解答】解:等边三角形ABC中,若==,∴AE?AF=.
由余弦定理可得EF2=AE2+AF2﹣2AE?AF?cos60°=AE2+AF2﹣AE?AF≥2AE?AF﹣AE?AF=AE?AF=,
即EF2≥,∴EF≥=,当且仅当AE=AF时,取等号,故EF长度的最小值为.
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 复数(为虚数单位)的实部等于_________.
参考答案:
-3
12. 若行列式,则 .
参考答案:
2
13.
给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数 最近的整数,记作,即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题:
(1)的定义域是R,值域是[0,] (2)是周期函数,最小正周期是1(3)的图像关于直线(k∈Z)对称(4)在上是增函数 则其中真命题是__
参考答案:
答案:(1)、(2)、(3)
14. 已知定义在R上的函数满足:①函数的图像关于点(-1,0)对称;②对任意的,都有成立;③当时,,则 .
参考答案:
-2
15. 已知为不等式组所表示的平面区域,为圆()及其内部所表示的平面区域,若“点”是“点”的充分条件,则区域的面积的最小值为_________.
参考答案:
16. 在△ABC中,则的最大值为 .
参考答案:
∵acosB﹣bcosA=c,
∴结合正弦定理,得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC,
∵C=π﹣(A+B),得sinC=sin(A+B)
∴sinAcosB﹣sinBcosA=(sinAcosB+cosAsinB)
整理,得sinAcosB=4sinBcosA,同除以cosAcosB,得tanA=4tanB
由此可得tan(A﹣B)=
∵A、B是三角形内角,且tanA与tanB同号
∴A、B都是锐角,即tanA>0,tanB>0
∵+4tanB≥4
∴tan(A﹣B)=≤,当且仅当=4tanB,即tanB=时,tan(A﹣B)的最大值为.
17. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数的图象恰好经过个格点,则称函数为阶格点函数.下列函数:①;②;③;④其中是一阶格点函数的有 (填上所有满足题意的序号).
参考答案:
①②④
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题12分) 已知动圆过定点F(0,2),且与定直线l:y=-2相切.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过点F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q,求证:AQ⊥BQ.
参考答案:
19. 已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=1,且,,成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)设数列{}的前n项和为Tn,求证:Tn<.
参考答案:
【考点】数列的求和.
【分析】(1)设数列{an}的公差d≠0,a1=1,且,,成等比数列.可得=×,解得d,即可得出.
(2)==.利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出.
【解答】(1)解:设数列{an}的公差d≠0,a1=1,且,,成等比数列.
∴=×,解得: =a1?a9,∴(1+2d)2=1×(1+8d),d≠0,解得d=1.
∴an=1+n﹣1=n.
(2)证明: ==.
∴数列{}的前n项和Tn=+++…++
=<.
∴Tn<.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20. 已知函数.
(1)求函数的单调区间。
(2)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值时,对于任意的,函数在区间上总存在极值?
参考答案:
解:(1)由知:
当时,函数的单调增区间是,单调减区间是;
当时,函数的单调增区间是,单调减区间是;
当时,函数是常数函数,无单调区间。
(2)由,
∴,.
故,
∴,
∵ 函数在区间上总存在极值,∴ 函数在区间上总存在零点,
又∵函数是开口向上的二次函数,且
∴
由,令,则,
所以在上单调递减,所以;
由,解得;
综上得:
所以当在内取值时,对于任意的,函数在区间上总存在极值。
21. 设函数,其中向量=(2cosx,1),=(cosx,sin2x),x∈R.
(1)若f(x)=1-且x∈[-,],求x;
(2)若函数y=2sin2x的图象按向量=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.
参考答案:
解:(1)依题设,f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+). ……………2分
由1+2sin(2x+)=1-,得sin(2x+)=- .……………4分
∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,∴2x+=-,
即x=-. .……………6分
(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n
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