湖北省荆门市燎原中学2022年高三数学理联考试题含解析

湖北省荆门市燎原中学2022年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是以，为焦点的椭圆上一点，若且，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D ∵点是以，为焦点的椭圆上一点， ，， ∴，设，则． 由椭圆定义可知，∴， ∴，则． 由勾股定理知，即， 计算得出，∴． 故选． 2. 设i为虚数单位，则复数= A．－4－3i         B．－4+3i       C．4+3i         D．4－3i 参考答案： A = ，选A.   3. 已知正项等比数列{an}满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 参考答案： B 设正项等比数列的公比为，且， 由，得， 化简得，解得或（舍去）， 因为，所以，则，解得， 所以， 当且仅当时取等号，此时，解得， 因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则， 验证可得，当，时，取最小值为，故选B． 4. 在复平面内，复数对应的点在(      ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： C 略 5. 在△ABC中，A、B、C为其三内角，满足tanA、tanB、tanC都是整数，且，则下列结论中错误的是（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 首先判断出A、B、C均为锐角，根据tanA、tanB、tanC都是整数，求得tanA、tanB、tanC的值，进而判断出结论错误的选项. 【详解】由于，所以B、C都是锐角，又tanB、tanC都是正整数，这样，可见A也是锐角.这时，，，. 有，即.但是，，比较可知只可能，，.由可知，选项B是正确的. 至于选项C和D，由，可知，又，故选项C正确； 又由，选项D正确、A选项错误. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查三角形内角和定理，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题. 6. 在等差数列{an}中，若a1+a5+a9=，则tan（a4+a6）=(     ) A． B． C．1 D．﹣1 参考答案： A 【考点】等差数列的性质；两角和与差的正切函数． 【专题】计算题． 【分析】根据等差数列的性质，知道a5是a1与a9的等差中项，得到第五项的值，根据a5是a4与a6的等差中项，得到这两项的值，求出角的正切值． 【解答】解：∵等差数列{an}中，a1+a5+a9=， ∴3a5=， ∴a4+a6=， ∴tan（a4+a6）=tan， 故选A． 【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差中项的应用，考查特殊角的三角函数值，本题是一个比较简单的综合题目． 7.   向量a,b满足，则向量a与b的夹角为   （    ）     A．45°           B．60°           C．90°           D．120° 参考答案： 答案:C 8. 已知表示数列的前项的和，若对任意满足且则=（     ） A． B． C． D． 参考答案： C 在中，令则，令， 则，于是，故数列是首项为0，公差为1的等差数列，. 选C. 9. 程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值 为31，则等于（    ） （A） 4     （B） 1    （C）2   （D） 3 参考答案： D 略 10. 已知抛物线上点到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为(   ) A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据点到其焦点的距离为得到点M到准线的距离为2，解方程组即得解. 【详解】由题得点到准线的距离为2，所以1- 所以该抛物线的标准方程为. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是定义域为R的奇函数，是定义域为R的偶函数，若函数的值域为，则函数的值域为          ． 参考答案：      12. 若x，y满足，且z=2x+y的最大值为4，则k的值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】简单线性规划． 【专题】综合题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），即可求解k值． 【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，如图示： 直线kx﹣y+3=0过定点（0，3）， ∵z=2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4， 由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0）， 同时B也在直线kx﹣y+3=0上， 代入直线得2k+3=0，即k=﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值． 13. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为的三角形，则该圆锥的侧面积是           。 参考答案： 本题考查圆锥的三视图、侧面积计算，难度中等.因为圆锥的主视图即为圆锥的轴截面，所以该圆锥底面圆的半径为r=1，母线长为2，所以侧面积为. 14. 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为          ． 参考答案： 5 15. 给出下列命题 ①“a=3”是“直线ax－2y－1=0与直线6x－4y+c=0平行”的充要条件； ②则 ③函数的一条对称轴方程是； ④若且，则的最小值为9。 其中所有真命题的序号是         。 参考答案： ②③④ ①若直线ax－2y－1=0与直线6x－4y+c=0平行，则，所以“a=3”是“直线ax－2y－1=0与直线6x－4y+c=0平行”的充要条件错误； ②则，此命题正确。 ③函数 ，由，所以函数的一条对称轴方程是，正确； ④若且，则 ，所以的最小值为9，正确。 16. 任意幂函数都经过定                 点，则函数经过定点 ．    参考答案： a≥1   17. 已知角α的终边过点A（3，4），则cos（π+2α）=　　． 参考答案： 【考点】GI：三角函数的化简求值． 【分析】根据任意三角函数的定义求出cosα的值，化简cos（π+2α），根据二倍角公式即可得解． 【解答】解：角α的终边过点A（3，4），即x=3，y=4． ∴r==5． 那么cosα=． 则cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣=． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线 ： . （1）当 时，求 与 的交点的极坐标； （2）直线 与曲线 交于 ， 两点，且两点对应的参数 ， 互为相反数，求 的值. 参考答案： 解法一：（Ⅰ）由，可得， 所以，即， \当时，直线的参数方程（为参数），化为直角坐标方程为， 联立解得交点为或， 化为极坐标为， （2）由已知直线恒过定点，又，由参数方程的几何意义知是线段的中 点，曲线是以为圆心，半径的圆，且， 由垂径定理知：． 解法二：（1）依题意可知，直线的极坐标方程为， 当时，联立 解得交点， 当时，经检验满足两方程， 当时，无交点； 综上，曲线与直线的点极坐标为，． （2）把直线的参数方程代入曲线，得， 可知，， 所以． 19. （12分）已知等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项， （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn=n+an（n∈N*）求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： （Ⅰ），是和的等差中项，得2=+=； 又为等比数列，，；        ---------------------3分   所以     ；                             -----------------------6分   （Ⅱ）由 所以            =；                          ---------------------12分  20. （本题满分12分）四棱锥底面是平行四边形，面面, ,,分别为的中点. （1）求证：      （2）求二面角的余弦值 参考答案： （1）  ①   所以         ② 由 ①②可知， (2)取 的中点, 是二面角的平面角 由 （2）知   即二面角的余弦值为 解法二 （1） 建系令 ,        (2) 设平面PAD的法向量为    ,    令所以 平面PAB的法向量 ，即二面角的余弦值为。 21. 某学校要用鲜花布置花圃中A，B，C，D，E五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花。现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择。 （1）当A、D区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数； （2）求恰有两个区域用红色鲜花的概率； （3）记为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量的分布列及其数学期望。 参考答案： （1）4×3×3＝36（种） （2）A、D同色，5×4×3×1×3＝180 A、D异色，5×4×3×2×2＝240 因此，所有基本事件总数为420种（是等可能的） A、D为红色，4×3×3＝36 B、E为红色，4×3×3＝36 因此事件M包含的基本事件有36＋36＝72种 （3）随机变量的分布列 0 1 2 P 略 22. 在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为，圆C2的方程为，动圆C与圆C1内切且与圆C2外切. (1)求动圆圆心C的轨迹E的方程； (2)已知与为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l与轨迹E交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值. 参考答案： (1)设动圆的半径为，由题意知 从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆， 并去 除点，从而轨迹的方程为. （2）设的方程为，联立， 消去得，设点， 有则， 点到直线的距离为，点到直线的距离为， 从而四边形的面积 令，有，函数在上单调递增， 有，故，即四边形面积的最大值为.