河北省衡水市邢台第十九中学2023年高二数学理期末试题含解析

河北省衡水市邢台第十九中学2023年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是                       参考答案： B 2. 从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，每次抽取一个个体是人以个体被抽到的概率_____________整个过程中个体a被抽到的概率 A、相等        B、前者大于后者       C、后者大于前者        D、不确定 参考答案： A 3. 算法的有穷性是指（     ） A． 算法必须包含输出                 B．算法中每个操作步骤都是可执行的 C． 算法的步骤必须有限               D．以上说法均不正确 参考答案： C 无 4. 内江市某镇2009年至2015年中，每年的人口总数y（单位：万）的数据如下表： 年     份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号t 0 1 2 3 4 5 6 人口总数y 8 8 8 9 9 10 11 若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线=t+一定过点（　　） A．（3，9） B．（9，3） C．（6，14） D．（4，11） 参考答案： A 【考点】线性回归方程． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，可得结论． 【解答】解： =（0+1+2+3+4+5+6）=3， =（8+8+8+9+9+10+11）=9， ∴线性回归直线=t+一定过点（3，9）， 故选：A． 【点评】本题考查线性回归方程，利用线性回归直线一定过样本中心点是关键，本题是一个基础题． 5. 设，若，则等于 A．               B．            C．            D． 参考答案： A 略 6. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，若|AB|=4，则C的实轴长为（　　） A．4 B．2 C．4 D．8 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，设出双曲线方程，由抛物线的几何性质可得抛物线y2=16x的准线方程，则可以设出A、B的坐标，利用|AB|=4，可得A、B的坐标，将其坐标代入双曲线方程可得λ的值，将其变形可得双曲线的标准方程，由实轴的公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，要求等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上， 则可以设其方程为：x2﹣y2=λ，（λ＞0） 对于抛物线y2=16x，其准线方程为x=﹣4， 设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0）， 若|AB|=4，则有|y﹣（﹣y）|=4，解可得y=2， 即A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2）， 代入双曲线方程可得：16﹣4=λ，解可得λ=12， 则该双曲线的标准方程为：﹣=1， 则a==2，其C的实轴长2a=4； 故选：C． 7. 已知向量，满足||=||=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： B 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题；平面向量及应用． 【分析】将|+|=1两边平方，结合已知条件可算出?=﹣，再用两个向量的夹角公式即可算出向量，夹角的余弦值． 【解答】解：∵|+|=1， ∴（+）2=2+2?+2=1 ∵||=||=1，得2=2=1 ∴代入上式得：2?=﹣1， ?=﹣ 因此，向量，夹角的余弦为cosθ==﹣ 故选：B 【点评】本题给出向量、满足的条件，求它们夹角的余弦之值，着重考查了平面向量数量积的公式及其运算性质等知识，属于基础题． 8. 的图象大致为(　　) 参考答案： A 略 9. 已知是以为周期的偶函数，且时，，则当时，等于：                参考答案： B 略 10. 观察下列各式：…，则的末四位数字为（    ）     A．3125             B．5625             C．0625             D．8125 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为       . 参考答案： 为参数） 12. NBA总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为__________． 参考答案： 0.3108 分析：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 能求出勇士队以比分4：1获胜的概率． 设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 能求出骑士队以比分4：1获胜的概率． 则恰好5场比赛决出总冠军的概率为. 详解：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．则 设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 能求出骑士队以比分4：1获胜概率．则 则恰好5场比赛决出总冠军的概率为 即答案为0.3108. 点睛：本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，同时考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题． 13. 在报名的3名男教师和5名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男女教 师都有，则不同的选取方式的种数为        (结果用数值表示). 参考答案： 120 由题意得，可采用间接法：从男女组成的中，选出人，共有种不同的选法；其中人中全是女教师的有种选法，故共有种选法．   14. 同时掷两个骰子，点数之和等于5的概率是          参考答案： 15. 已知椭圆C的参数方程为（为参数，），则此椭圆的焦距为______. 参考答案： 8 【分析】 由椭圆的参数方程可得椭圆的普通方程，可得椭圆的焦距. 【详解】解：由椭圆的参数方程为（为参数，）， 可得椭圆的普通方程为，可得， 可得焦距为， 故答案：8. 【点睛】本题主要考查椭圆的参数方程和普通方程的转化及椭圆的性质，相对简单. 16. 2012年6月我国发射的“神舟九号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为              千米 参考答案： 17. 读如下两段伪代码，完成下面题目． 若Ⅰ，Ⅱ的输出结果相同，则Ⅱ输入的值为　　． 参考答案： 0 考点： 伪代码． 专题： 算法和程序框图． 分析： 根据题意，模拟伪代码的运行过程，即可得出正确的结论． 解答： 解：根据题意， Ⅰ中伪代码运行后输出的是x=3×2=6； Ⅱ中运行后输出的也是y=6， ∴x2+6=6， ∴x=0； 即输入的是0． 故答案为：0． 点评： 本题考查了算法语言的应用问题，解题时应模拟算法语言的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2，点（1，）在该椭圆上 （1）求椭圆C的方程； （2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切圆的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）因为|F1F2|=2，所以c=1．又点（1，）在该椭圆上，所以根据椭圆的定义可求出a的值，从而求出b．（2）首先应考虑直线l⊥x轴的情况，此时A（﹣1，﹣），B（﹣1，），△AF2B的面积为3，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，），s△AF2B=．设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，用弦长公式可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得 圆F2的半径r=，这样根据题中所给面积可求出k的值，从而求出半径，进而得到圆的方程为． 【解答】解：（1）因为|F1F2|=2，所以c=1． 又点（1，）在该椭圆上，所以． 所以a=2，b2=3． 所以椭圆C的方程为． （2）①当直线l⊥x轴时，可得A（﹣1，﹣），B（﹣1，），△AF2B的面积为3，不符合题意 ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0 显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=﹣，x1x2= 可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得 圆F2的半径r=， ∴△AF2B的面积=|AB|r=， 化简得：17k4+k2﹣18=0，得k=±1， ∴r=，圆的方程为（x﹣1）2+y2=2． 19. (本小题满分10分) 已知,且,求证:与中至少有一个小于2. 参考答案： (10分)解：用反证法.假设与都大于或等于2,即, ------4分 ,故可化为, 两式相加,得x+y≤2,           ----------------------------------------8分 与已知矛盾.所以假设不成立,即原命题成立.    --------------------10分 略 20. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式． 参考答案： 【考点】等比数列的性质；数列的求和． 【专题】综合题；等差数列与等比数列． 【分析】（1）设出等差数列的公差为d，利用S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列，建立方程，求出首项与公差，即可求数列{an}的通项公式； （2）确定新数列{bn}的通项，利用分组求和，即可求Tn的表达式． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，则 ∵S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列， ∴3a1+3d+5a1+10d=50，（a1+3d）2=a1（a1+12d） ∵公差d≠0，∴a1=3，d=2 ∴数列{an}的通项公式an=2n+1； （2）据题意得bn==2×2n+1． ∴数列{bn}的前n项和公式：Tn=（2×2+1）+（2×22+1）+…+（2×2n+1）=2×（2+22+…+2n）+n=2×+n=2n+2+n﹣4． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查由等差数列的性质求其通项，考查利用分组求和的技巧求新数列的和，其特征是一个数列的通项如果一个等差数列的项与一个等比数列的项，则可以采用分组的方法求和． 21. 某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响． （Ⅰ）求这名同学得300分的概率； （Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率． 参考答案： 【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概