河北省衡水市同华中学2022年高三数学理月考试卷含解析

河北省衡水市同华中学2022年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 有限数列A＝（a1，a2，a3……an），Sn为其前n项和，定义： 为A的“四维光军和”。若有99项的数列(a1,a2,a3……a99)的“四维光军和”和1000，则有100项的数列（1，a1,a2，……a99）的“四维光军和”是（　 　） Ａ．991   Ｂ．882 Ｃ．981 Ｄ．893 参考答案： A 2. 某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是   85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y的值为(    )   (A)6            (B) 7 (C)8             (D)9 参考答案： D 略 3. 抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为（   ）    A．2    B．4    C．6    D．8 参考答案： 【知识点】抛物线的简单性质．H7 D   解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为36π，∴圆的半径为6， 又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=， ∴+=6，∴p=8，故选：D． 【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值． 4. 设又记 ···则    A．             B．                C．            D．  参考答案： D 5. 若非零向量，的夹角为锐角θ，且=cosθ，则称被 “同余”．已知被 “同余”，则﹣在上的投影是（　　） A． B． C．D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据“同余”的定义写出=cosθ，再计算数量积（﹣），从而求出在上的投影． 【解答】解：根据题意， =cosθ，其中θ为、的夹角； ∴（﹣）=﹣=﹣||?||?=﹣； ∴在上的投影为： |﹣|cos＜﹣，＞=|﹣|×=． 故选：A． 　 6. 如图，偶函数f（x）的图象如字母M，奇函数g（x）的图象如字母N，若方程f（g（x））=0，g（f（x））=0的实根个数分别为m、n，则m+n=（　　） A．12 B．18 C．16 D．14 参考答案： B 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】若方程f（g（x））=0，则g（x）=﹣，或g（x）=0，或g（x）=，进而可得m值；不妨仅g（x）的三个零点分别为﹣a，0，a（0＜a＜1），若g（f（x））=0，则f（x）=﹣a，或f（x）=0，或f（x）=a，进而得到n值 【解答】解：若方程f（g（x））=0，则g（x）=﹣，或g（x）=0，或g（x）=， 此时方程有9个解； 不妨仅g（x）的三个零点分别为﹣a，0，a（0＜a＜1） 若g（f（x））=0，则f（x）=﹣a，或f（x）=0，或f（x）=a， 此时方程有9个解； 即m=n=9， ∴m+n=18， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是数形结合思想，方程的根与函数零点之间的关系，难度中档． 　 7. 如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 参考答案： A 【考点】9V：向量在几何中的应用；9H：平面向量的基本定理及其意义． 【分析】利用向量转化求解即可． 【解答】解：由题意正方形ABCD中，E为DC的中点，可知： =． 则λ+μ的值为：． 故选：A． 8. 把函数y=f（x）（x∈R）的图象上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的y=sinx图象，则函数y=f（x）的解析式是（　　） A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（+），x∈R C．y=sin（2x+），x∈R D．y=sin（2x+），x∈R 参考答案： D 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】直接采用逆向思维，对函数的关系式进行平移和伸缩变换求出结果． 【解答】解：采用逆向思维的方法： 首先把函数y=sinx，图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到y=sin2x的图象，再把图象上所有点的横标向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）]=sin（2x+）的图象． 故选：D 　 9. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为(     ) A．（￢p）∨（￢p） B．￢（（￢p）∧（￢p）） C．（￢p）∧（￢p） D．￢（p∨p） 参考答案： B 【考点】复合命题的真假． 【专题】简易逻辑． 【分析】命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为p∨q，再利用复合命题的运算性质即可判断出． 【解答】解：命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为p∨q， 而A．（￢p）∨（￢p）=￢（P∧q），因此不正确； B．￢（￢p）∧（￢p）=￢（￢（p∨q））=p∨q，正确； C．（￢p）∧（￢p）=￢（p∨q），不正确； D．￢（p∨p），不正确． 故选：B． 【点评】本题考查了复合命题的运算性质及其判定方法，属于基础题． 10. 已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大值为 A.      B.      C.2       D.3 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 右图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是    。 参考答案： 略 12. 如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为           参考答案： 略 13. 如图2,是函数(其中 的部分图像,则其解析式为 参考答案： 14. 设满足约束条件：；则的取值范围为              . 参考答案： 略 15. 在等差数列{an}中，已知首项a1＞0，公差d＞0．若a1+a2≤10，a2+a3≥12，则﹣3a1+a5的最小值为　   　． 参考答案： 13 【考点】等差数列的性质． 【分析】易得a1+a2≤10，a2+a3≥12，待定系数可得﹣3a1+a5=﹣（2a1+d）+（2a1+3d），由不等式的性质可得． 【解答】解：∵在等差数列{an}中，已知首项a1＞0，公差d＞0， 又a1+a2≤10，a2+a3≥12， ∴2a1+d≤10，2a1+3d≤12， ∴﹣3a1+a5=﹣2a1+4d=﹣x（2a1+d）+y（2a1+3d）=2（y﹣x）a1+（3y﹣x）d， ∴2（y﹣x）=﹣2，3y﹣x=4，解得x=，y=， ∴﹣3a1+a5=﹣（2a1+d）+（2a1+3d）≤﹣×10+×12=13． 故答案为：13． 　 16. 在北纬450东经300有一座城市A,在北纬450东经1200有一座城市B,设地球半径为R,则A、B两地之间的距离是          。 参考答案： 略 17. 从某地高中男生中随机抽取100名   同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为          参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数．（e是自然对数的底数） （1）求f(x)的单调递减区间； （2）记，若，试讨论g(x)在上的零点个数．（参考数据：） 参考答案： （1）．（2）见解析 【分析】 （1）求出导函数，解不等式，结合三角函数的性质可得解； （2）求出，令，由导数的知识求得的单调性，然后通过讨论的正负确定的单调性的极值，确定其零点个数． 【详解】解：（1），定义域为． ． 由解得，解得． ∴的单调递减区间为． （2）由已知，∴． 令，则． ∵，∴当时，； 当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减． ∵，． ①当，即时，，∴． ∴，使得， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． ∵，∴． 又∵， ∴由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点． ②若时，， 又∵在上单调递增，在上单调递减，又， ∴，，使得，， 且当、时，；当时，． ∴在和上单调递减，在上单调递增． ∵，∴． ∵，∴． 又∵，由零点存在性定理可得， 在和内各有一个零点， 即此时在上有两个零点． 综上所述，当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有两个零点． 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、求极值等问题，考查等人转化思想、分类讨论思想的综合应用，涉及构造函数、多次求导等方法，有一定的综合性，考查学生的分析问题能力和逻辑思维能力，属于难题． 19. 已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集； （Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可． 【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8， 可化为①或②或③，… 解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜， 综合得：﹣＜x＜，即原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．… （Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4， 当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…（8分） 又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．…（10分） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题． 20. 已知函数的最大值为0，其中。 （1）求的值； （2）若对任意，有成立，求实数的最大值； 参考答案： （1）f(x)定义域为（-a,+∞） ,由=0，得x=1-a>-a. …………………1分 当x变化时，，f(x)变化情况如下 x (-a,1-a)   1-a (1-a,+∞) + 0 - f(x) 增 极大值 减 因此，f(x)在 x=1-a处取得最大值，故f(1-a)=a-1=0,所以a=1. ………………5分 （2）…………7分 当k<0时，     8 ，因此g(x)在（0，+∞）单调递增 从而对任意的x[0,+∞，总有g(x)≥g(0)=0,即≥在[0,+∞恒成立。 21. （本题满分18分，其中第1小题3分，第2小题7分，第3小题8分） 给出函数封闭的定义：若对于定义域内的任意一个自变量，都有函数值， 称函数在上封闭． （1）若定义域，判断函数是否在上封闭，并说明理由； （2）若定义域，是否存在实数，使得函数在上封闭？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）利用（2）中函数，构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，