河北省衡水市龙翔中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

河北省衡水市龙翔中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数n                                                     A．有最大值63     B．有最小值63     C．有最大值32    D．有最小值32 参考答案： B 略 2. 已知命题:负数的立方都是负数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的是 A．  　　　　Ｂ．　　　　　C．    D．　　　　 参考答案： C 3. 已知函数在上是单调递减函数，则实数a的取值范围是(    ) A. (1,2) B. (0,2) C. (2,+∞) D. 参考答案： A 分析：由题意可得可得a＞1，且 4﹣a×2＞0，由此求得实数a的取值范围． 详解：由题意可得，a＞0，且a≠1，故函数t=4﹣ax在区间[0，2]上单调递减． 再根据y=loga（4﹣ax）在区间[0，2]上单调递减，可得a＞1，且 4﹣a×2＞0， 解得1＜a＜2， 故答案为：A． 点睛：（1）本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时不要忽略了函数的定义域，即4-ax>0恒成立. 4. 等差数列{an}的前m项和为20，前2m项和为70，则它的前3m的和为（　　） A．130 B．150 C．170 D．210 参考答案： B 【考点】等差数列的性质． 【分析】根据等差数列的性质Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m仍然成等差数列，根据仍然成等差数列．进而代入数值可得答案． 【解答】解：若数列{an}为等差数列则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m仍然成等差数列． 因为在等差数列{an}中有Sm=20，S2m=70， S3m﹣70+20=2（70﹣20） 所以S3m=150． 故选B． 5. 点（-1，2）关于直线的对称点的坐标是                 （     ） A．(3,2)        B．(-3,-2)        C．(-3,2)      　 D．(3,-2) 参考答案： D 略 6. 过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A．      B．      C．      D． 参考答案： A 略 7. 把一段长为12的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(     ) A． B．3 C． D．4 参考答案： A 考点：三角形的面积公式． 专题：函数的性质及应用． 分析：设两段分别为x和12﹣x，其中0＜x＜12，可得面积之和S=（2x2﹣24x+144），由二次函数区间的最值可得． 解答： 解：设两段分别为x和12﹣x，其中0＜x＜12， 可得面积之和S=×（）2+×（）2 =（2x2﹣24x+144）， 由二次函数可知当x=﹣=6时，上式取最小值2 故选：A 点评：本题考查最值问题，涉及二次函数区间的最值，属基础题． 8. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（　　） x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 A．4 B．3.5 C．4.5 D．3 参考答案： D 【考点】BK：线性回归方程． 【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5， == ∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上， ∴=0.7×4.5+0.35， ∴m=3， 故选：D． 【点评】本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，题目的运算量不大，解题的关键是理解样本中心点在线性回归直线上． 9. 曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（　　） A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 参考答案： A 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上 ∵y=x3﹣2x+1， y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1； 所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为： y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1． 故选A． 10. 若i为虚数单位，复数z=2﹣i，则+=（　　） 　 A． 2+i B． 2+i C． 2+i D． 2+3i 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 计算：=               。 参考答案： 12. 已知，则           . 参考答案： 1或3. 略 13. 曲线在处的导数为，则__________． 参考答案： 3 【考点】63：导数的运算． 【分析】求出函数线的导函数，把代入导函数解析式可求的值． 【解答】解：由，得， 又曲线在处的导数为， 所以，． 故答案为． 14. 若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是    参考答案： 15. 设曲线在点处的切线为，则直线的倾斜角为　　　 　 参考答案： 　 略 16. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表   根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为     ． 参考答案： 万元 略 17. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB=AD＝1，DC⊥BC，这个平面图形的面积为______             参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c． （Ⅰ）求椭圆E的离心率； （Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程． 【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程． 【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0， 则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b， e===； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，① 由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=， 易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得 （1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=．x1x2=， 由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=， 从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=? ==，解得b2=3， 则有椭圆E的方程为+=1． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题． 19. （本大题满分13分） 已知命题命题若命题“且”是真命题，求实数的取值范围. 参考答案： 解：由命题可知：    ···········5分         由命题可知：····9分         ···································11分         又是真命题          ··································13分 略 20. 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和. （1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； （2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望. 参考答案： （1）；（2）40 设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C. 则. ………………3分 （Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域. ………………6分 即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次. 随机变量的可能值为0，30，60，90，120. ………………7分 ………………10分 所以，随机变量的分布列为：   0   30   60   90   120                 ………………12分 其数学期望.………13分 21. 已知为实数，函数，函数，令函数. （１）   若求函数的极小值； （２）   当解不等式； （３）   当求函数的单调减区间. 参考答案： （1）令 当递增；当递减； 故的极小值为 （2）由       可得      故在递减 当时    故当时 当时，由 综合得：原不等式的解集为 （3），令得 ①当时，，减区间为 ②当时，减区间为 ③当时，减区间为 22. 某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如下（单位：cm） （1）根据频率分布直方图,求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值. （2）在身高为140—160的学生中任选2个,求至少有一人的身高在150—160之间的概率. 参考答案： 解:(1)中位数的左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值, 所以中位数的估计值为162.5. 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 则平均数的估计值为 (2)这20名学生中,身高在140—150之间的有2个,分别为A,B,身高在150—160之间的有6人,分别为C,D,E,F,G,H, 则从这8人中任选2个的所有基本事件有AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,BC,BD,BE,BF,BG,BH,CD, CE,CF,CG,CH,DE,DF,DG,DH,EF,EG,EH,FG,FH,GH共28个, 两个身高都在140---150之间的事件有AB共1个, 所以至少有一个人在150—160之间的概率为. 略