河北省石家庄市育德中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，，且，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
参考答案：
A
【分析】
根据等差数列的性质以及前n项公式，用中间项表示出Sn、Tn，求出的值即可．
【详解】由等差数列的性质可得：.
故选：A．
【点睛】本题考查了等差数列的性质与前n项公式的灵活应用问题，是基础题目．
2. 集合，若，则a可取的值有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
参考答案：
C
略
3. 设等差数列{an}的前n项和为，，，则（ ）
A. －8 B. －6 C. －4 D. －2
参考答案：
A
【分析】
利用等差数列的基本量解决问题.
【详解】解：设等差数列的公差为，首项为，
因，，
故有，
解得，
，
故选A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式，解决问题的关键是熟练运用基本量法.
4. 给定两个长度均为2的平面向量和,它们的夹角为，点C在以O为圆心的 圆弧上运动，如图所示，若+，其中x,y,则x+y的最大值是
（ ）
A． B．2 C． D．
参考答案：
D
略
5. 若不等式组无解，则m的取值范围是
A、B、 C、 D、
参考答案：
B
6. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
7. 设定义域为的函数，若关于的方程有3个不同的整数解，则等于 （ ）
A、5 B、 C、13 D、
参考答案：
A
8. （3分）sin300°=（）
A． ﹣ B． C． D．
参考答案：
A
考点： 运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．
专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．
解答： sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．
故选：A．
点评： 本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
9. 数列{ a n }中，a 1 = 2，a n + 1 =且b n = | a n + 1 – a n |（n∈N*），设S n是{ b n }的前n项和，则下列不等式中一定成立的是（ ）
（A）0.3 < S n < 0.4 （B）0.4 < S n < 0.5 （C）0.5 < S n < 0.8 （D）0.5 < S n < 0.9
参考答案：
B
10. ……………（ ）
（A）不能作出满足要求的三角形 （B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于任意实数a，b，定义min设函数f（x）=﹣x+3，g（x）=log2x，则函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是__________．
参考答案：
1
考点：对数函数图象与性质的综合应用．
专题：数形结合．
分析：分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．
解答：解：∵x＞0，∴f（x）=﹣x+3＜3，g（x）=log2x∈R，分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象，
结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，
h（x）=min{f（x），g（x）}的图象，
在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．
解方程组得，
∴函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是1．
故答案是1．
点评：数形结合是求解这类问题的有效方法．
12. tan24°＋tan36°＋tan24°tan36°＝________.
参考答案：
13. 将五进制化成四进位制数是__ __.
参考答案：
14. 已知，则的值为
参考答案：
6
15. （5分）已知函数f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是 ．
参考答案：
（1，2）
考点： 函数单调性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先将函数f（x）=loga（2﹣ax）转化为y=logat，t=2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．
解答： 令y=logat，t=2﹣ax，
（1）若0＜a＜1，则函y=logat，是减函数，
由题设知t=2﹣ax为增函数，需a＜0，故此时无解；
（2）若a＞1，则函数y=logat是增函数，则t为减函数，
需a＞0且2﹣a×1＞0，可解得1＜a＜2
综上可得实数a 的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）
点评： 本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．
16. （5分）设向量=（sinα，cosα﹣y），=（﹣2，sinα），若，则y的最大值为 ．
参考答案：
2
考点： 三角函数的最值；平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题： 三角函数的求值；平面向量及应用．
分析： 利用向量的平行，列出方程，得到y的表达式，通过三角函数的最值求解即可．
解答： 向量=（sinα，cosα﹣y），=（﹣2，sinα），，
所以sin2α+2（cosα﹣y）=0，
可得y=sin2α+2cosα=﹣cos2α+2cosα+1=﹣（cosα﹣1）2+2．
∴ymax=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查向量的平行的充要条件，三角函数的最值的求法，考查计算能力．
17. 设已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则_______________.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前项和．
（1）证明数列为等差数列，求出数列的通项公式．
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
参考答案：
见解析．
解：（）当时，得，
当时，，
，
两式相减得，即，
∴，
又，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列．
（）由（）知，即，
∵，
∴不等式等价于，
记，
时，，
∴当时，，，
∴，即，
∴的取值范围是：．
19. 已知函数，。
当时，解不等式；
当，时，总有恒成立，求实数的取值范围
参考答案：
1）
------------------4分
-------------------------------6分
（2）当，时，总有恒成立
即在，时恒成立
令 则
令 令 则
即，
所以在上单调递减
所以 即时， -------------------------8分
又因为 所以当时， ---------------------------------10分
所以 实数的取值范围是 ---------------------------------12分
20. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：
（1）EF∥平面PBC；
（2）DF⊥平面PAC．
参考答案：
【考点】LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）利用三角形中位线定理推导出EF∥PC，由此能证明EF∥平面PBC．
（2）由已知条件推导出△ACD为正三角形，DF⊥AC，从而得到DF⊥平面PAC．
【解答】（本题满分为12分）
证明：（1）在△PAC中，因为E，F分别是AP，AC的中点，
所以EF∥PC．…
又因为EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．…
（2）连结CD．因为∠BAC=60°，AD=AC，
所以△ACD为正三角形．
因为F是AC的中点，所以DF⊥AC．…
因为平面PAC⊥平面ABC，DF?平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
所以DF⊥平面PAC． …
21. 若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中,使得当时, 的取值范围恰为,则称函数是上的正函数,区间叫做函数的等域区间.
（1）已知是上的正函数，求的等域区间.
（2）试探求是否存在，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由
参考答案：
解：(1) ……2分
(2)假设存在，使得函数是上的正函数，且此时函数在上单调递减
存在使得： （*） ……4分
两式相减得 ，代入上式：
即关于的方程 在上有解 ……8分
方法①参变分离：即
令，所以
实数的取值范围为
方法②实根分布：令，即函数的图像在内与轴有交点，，解得
方法③ ：（*）式等价于方程在上有两个不相等的实根
略
22. （本小题满分12分）已知全集， ,求及.
参考答案：
=------------------4分
==------------------8分
= {x|1
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