河北省石家庄市育德中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,,且,则( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
参考答案:
A
【分析】
根据等差数列的性质以及前n项公式,用中间项表示出Sn、Tn,求出的值即可.
【详解】由等差数列的性质可得:.
故选:A.
【点睛】本题考查了等差数列的性质与前n项公式的灵活应用问题,是基础题目.
2. 集合,若,则a可取的值有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
C
略
3. 设等差数列{an}的前n项和为,,,则( )
A. -8 B. -6 C. -4 D. -2
参考答案:
A
【分析】
利用等差数列的基本量解决问题.
【详解】解:设等差数列的公差为,首项为,
因,,
故有,
解得,
,
故选A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式,解决问题的关键是熟练运用基本量法.
4. 给定两个长度均为2的平面向量和,它们的夹角为,点C在以O为圆心的 圆弧上运动,如图所示,若+,其中x,y,则x+y的最大值是
( )
A. B.2 C. D.
参考答案:
D
略
5. 若不等式组无解,则m的取值范围是
A、B、 C、 D、
参考答案:
B
6. 已知是定义在上的增函数,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 设定义域为的函数,若关于的方程有3个不同的整数解,则等于 ( )
A、5 B、 C、13 D、
参考答案:
A
8. (3分)sin300°=()
A. ﹣ B. C. D.
参考答案:
A
考点: 运用诱导公式化简求值;任意角的三角函数的定义.
专题: 计算题;三角函数的求值.
分析: 运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值.
解答: sin300°=sin(360°﹣60°)=﹣sin60°=﹣.
故选:A.
点评: 本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用,属于基础题.
9. 数列{ a n }中,a 1 = 2,a n + 1 =且b n = | a n + 1 – a n |(n∈N*),设S n是{ b n }的前n项和,则下列不等式中一定成立的是( )
(A)0.3 < S n < 0.4 (B)0.4 < S n < 0.5 (C)0.5 < S n < 0.8 (D)0.5 < S n < 0.9
参考答案:
B
10. ……………( )
(A)不能作出满足要求的三角形 (B)作出一个锐角三角形
(C)作出一个直角三角形 (D)作出一个钝角三角形
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于任意实数a,b,定义min设函数f(x)=﹣x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是__________.
参考答案:
1
考点:对数函数图象与性质的综合应用.
专题:数形结合.
分析:分别作出函数f(x)=﹣3+x和g(x)=log2x的图象,结合函数f(x)=﹣3+x和g(x)=log2x的图象可知,在这两个函数的交点处函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值.
解答:解:∵x>0,∴f(x)=﹣x+3<3,g(x)=log2x∈R,分别作出函数f(x)=﹣3+x和g(x)=log2x的图象,
结合函数f(x)=﹣3+x和g(x)=log2x的图象可知,
h(x)=min{f(x),g(x)}的图象,
在这两个函数的交点处函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值.
解方程组得,
∴函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是1.
故答案是1.
点评:数形结合是求解这类问题的有效方法.
12. tan24°+tan36°+tan24°tan36°=________.
参考答案:
13. 将五进制化成四进位制数是__ __.
参考答案:
14. 已知,则的值为
参考答案:
6
15. (5分)已知函数f(x)=loga(2﹣ax)(a>0,a≠1)在区间[0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(1,2)
考点: 函数单调性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 先将函数f(x)=loga(2﹣ax)转化为y=logat,t=2﹣ax,两个基本函数,再利用复合函数的单调性求解.
解答: 令y=logat,t=2﹣ax,
(1)若0<a<1,则函y=logat,是减函数,
由题设知t=2﹣ax为增函数,需a<0,故此时无解;
(2)若a>1,则函数y=logat是增函数,则t为减函数,
需a>0且2﹣a×1>0,可解得1<a<2
综上可得实数a 的取值范围是(1,2).
故答案为:(1,2)
点评: 本题考查复合函数的单调性,关键是分解为两个基本函数,利用同增异减的结论研究其单调性,再求参数的范围.
16. (5分)设向量=(sinα,cosα﹣y),=(﹣2,sinα),若,则y的最大值为 .
参考答案:
2
考点: 三角函数的最值;平面向量共线(平行)的坐标表示.
专题: 三角函数的求值;平面向量及应用.
分析: 利用向量的平行,列出方程,得到y的表达式,通过三角函数的最值求解即可.
解答: 向量=(sinα,cosα﹣y),=(﹣2,sinα),,
所以sin2α+2(cosα﹣y)=0,
可得y=sin2α+2cosα=﹣cos2α+2cosα+1=﹣(cosα﹣1)2+2.
∴ymax=2.
故答案为:2.
点评: 本题考查向量的平行的充要条件,三角函数的最值的求法,考查计算能力.
17. 设已知函数,正实数m,n满足,且,若在区间上的最大值为2,则_______________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前项和.
(1)证明数列为等差数列,求出数列的通项公式.
(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围.
参考答案:
见解析.
解:()当时,得,
当时,,
,
两式相减得,即,
∴,
又,
∴数列是以为首项,为公差的等差数列.
()由()知,即,
∵,
∴不等式等价于,
记,
时,,
∴当时,,,
∴,即,
∴的取值范围是:.
19. 已知函数,。
当时,解不等式;
当,时,总有恒成立,求实数的取值范围
参考答案:
1)
------------------4分
-------------------------------6分
(2)当,时,总有恒成立
即在,时恒成立
令 则
令 令 则
即,
所以在上单调递减
所以 即时, -------------------------8分
又因为 所以当时, ---------------------------------10分
所以 实数的取值范围是 ---------------------------------12分
20. 如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠BAC=60°,E,F分别是AP,AC的中点,点D在棱AB上,且AD=AC.求证:
(1)EF∥平面PBC;
(2)DF⊥平面PAC.
参考答案:
【考点】LW:直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)利用三角形中位线定理推导出EF∥PC,由此能证明EF∥平面PBC.
(2)由已知条件推导出△ACD为正三角形,DF⊥AC,从而得到DF⊥平面PAC.
【解答】(本题满分为12分)
证明:(1)在△PAC中,因为E,F分别是AP,AC的中点,
所以EF∥PC.…
又因为EF?平面PBC,PC?平面PBC,
所以EF∥平面PBC.…
(2)连结CD.因为∠BAC=60°,AD=AC,
所以△ACD为正三角形.
因为F是AC的中点,所以DF⊥AC.…
因为平面PAC⊥平面ABC,DF?平面ABC,
平面PAC∩平面ABC=AC,
所以DF⊥平面PAC. …
21. 若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中,使得当时, 的取值范围恰为,则称函数是上的正函数,区间叫做函数的等域区间.
(1)已知是上的正函数,求的等域区间.
(2)试探求是否存在,使得函数是上的正函数?若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由
参考答案:
解:(1) ……2分
(2)假设存在,使得函数是上的正函数,且此时函数在上单调递减
存在使得: (*) ……4分
两式相减得 ,代入上式:
即关于的方程 在上有解 ……8分
方法①参变分离:即
令,所以
实数的取值范围为
方法②实根分布:令,即函数的图像在内与轴有交点,,解得
方法③ :(*)式等价于方程在上有两个不相等的实根
略
22. (本小题满分12分)已知全集, ,求及.
参考答案:
=------------------4分
==------------------8分
= {x|1
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