2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.6矩形的性质与判定（基础篇练习）

专题1.6矩形的性质与判定（基础篇）（专项练习）一、单选题类型一、利用矩形的性质求线段 角度及面积1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、8。相交于。点，若 N4CB=28。，则NAO5的度 数 为（)A.42 B.52 C.46 D.562.如图，在矩形ABCQ中，E F是对角线AC的垂直平分线，分别交A8,CD于点E,F,若 AB=8,AO=4,则 E F的 长 为()A.4 B.8 C.石 D.2百3.如图，矩形A8C。中，对角线AC,8。相交于点E,BF/AC,CF/BD,若四边形8EC尸面积为1,则矩形A8CQ的面积为（）A.1 B.2 C.4D.8类型二、利用矩形的性质和判定证明4.如果矩形的一边与对角线的夹角为50。,则两条对角线相交所成的锐角的度数为()A.60B.70C.80D.905.如图，已知点O 是矩形ABC。的对称中心，且 A B A O.点 E 从点A 出发沿AB向点 B运动，移动到点B停止，延长E O交C D于点F,则四边形A E C F的形状不可能是（）C.矩形D.正方形6.如图，四边形A6c。是矩形，E 是CO边延长线上一点，下是BE上一点,Z F E D=N F D E,Z D F B =ZDBF,ZDBC=24,则 NER4 的度数是（）A.7 B.21 C.22类型三直角三角形斜边上中线问题D.247.如图，a N B C 中，NABC=90。，点。是斜边4 c 的中点，A C=10,则。8=（）C.8D.108.如图，在 RtAABC中，NABC=90。，防 是 AC边上的中线，。E 是A45C 的中位线,若 O E=6,贝 DBF的 长 为（）Aa E CA.6 B.4C.3 D.59.如图，D E 为4 ABC的中位线，点F 在。E 上，且/A EB=90。.若AB=7,B C =,则 E F 的 长 为（）D.2类型四、添加一个条件构成矩形10.在 口 A8CD中，下列判断不正确的是（）A.若 A 8=B C,则%BCD是菱形B.若 4CLB。，则cABC。是矩形C.若 AC平分NBA。，则。ABC。是菱形D.若 A C=B O,则aABCQ是矩形1 1.如图，平行四边形ABC。的对角线AC,8。相交于点0,添加下列条件仍不能判断四边形ABC。是矩形的是（）B.C.0 A=0 DB.A B=A DD.ZABC+ZADC=1801 2.如图，在四边形ABCD中，AD/BC,A D B C,添加下列条件不能判定四边形A8CQ为菱形的是（)DBAA.BD LAC B.BC=CD C.AC BD D.AABD=NCBD类型五 证明四边形是矩形13.如图，点。为矩形4 8 c o 的对称中心，点E 从点A 出发沿AB向点8 运动，移动到点B停止，延长E。交C。于点F,则四边形AECF形状的变化依次为（）A.平行四边形一菱形一平行四边形-矩形B.平行四边形一正方形一平行四边形-矩 形C.平行四边形-正方形-菱形一矩 形 D.平行四边形一菱形-正方形一 矩形14.下列命题，为 真 命 题 的 是（)A.三个角是直角的四边形是矩形B.对角线相等的四边形是矩形C.三条边相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直的四边形是菱形1 5.如图，在 中，AB=A C,点、D,E 分别为边BC,AC的中点，延长OE至点F,且EF=D E,则四边形AQCF一 定 是（)C.正方形B.菱形D.矩形类型六、利用矩形的性质与判定求线段 角度及面积16.矩形ABCD中，48=2,4。=1,点 M 在 边 上，若 AM平分N O M B,则 DM的长 是（)L 3 LC.道-D.2-百21 7.如图，矩形 ABC。中，A8=2,AO=1,点用在边C。上，若 AM平分N O M 8,则0 M 的 长 是（）D./3-11 8.如图，在矩形4 8 8 中，AB=2,AD=4,E为 CD的中点，射线AE交 8 c 的延长线于点F，P 为 B C 上一点、,当/B 4E=/D 4E 时，PF的 长 为（）类型一、利用矩形的性质求线段、角度及面积19.如图，四边形ABC。是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋.如果扭动这个框 架（8C位置不变），当扭动到N4BC=90。时四边形4BCZ7是个矩形，A C 和 8。相交于点0.如果四边形ODOC为菱形，则NA C8=20.如图，在矩形ABCQ中，对角线AC、8。相交于点O,若 48=60。，4）=4,则 AB的长为21.如图，点尸是矩形4BCD的对角线AC上一点，过点P 作 E尸 8C,分别交A3、类型二、利用矩形的性质和判定证明则图中阴影部分的面积为22.如图，E,尸是矩形ABCD的边A。和 BC上的两点，连接BE,DF,B D,请添加（填一个即可）.23.如图，在矩形A8C。中，AB=Sa,BC=4a,若点E 是边AO上一点,点 F 是矩形内一点，ZB CF=30,则 EF+；C尸的最小值是24.如图，点 E 是矩形A8CO边 4 0 上一点，点 尸，G,H 分别是BE,CE的中点,类型三直角三角形斜边上中线问题25.如图，在 R d ABC中，N4CB=90。，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是N D B C=N B D C AE=BE C D =；AB Z B A E Z A C D26.如图，在 ABC中，点。，E 分别是边AB,AC的中点，点尸是线段OE上的一点、连接A凡BF,ZAFB=90,且 4B=8,B C=4,则 E尸的长是.27.如图，1 B C 中，D,E 分别是A8,AC的中点，尸是OE延长线上的一点，且ZAFC=9 0 ,若 AC=6,8 c =1 0,则 的长为.类型四、添加一个条件构成矩形28.如图所示，顺次连接四边形48。各边中点得到四边形EFG”，要使四边形EFG”为矩形，应添加的条件是一；要使四边形E F G H 为菱形,应添加的条件是一（只填序号）.备选答案：A B/C D；A C=BD；A C L B D；AB=DC.DECA/G B29.他C 中，延长54 至。使得筋=A Q,延长C4至 E 使得AC=A E,当AA5C满足条件 时，四边形8CE应是矩形.30.如图，的对角线交于点O,请你添加一个条件，使QABCD是矩形，这个条件可以是：_ （图中不再添加其他的点或线，只需写出一个条件即可）.类型五、证明四边形是矩形31.四边形4 3 8 中，AC、B D交于O,给出条件0A=OC,O8=。；AB=CD,AC=B D.。4=O3=OC=O；A B BC,AC=B D .其中能推得四边形ABC。是矩形的是（填序号）.32.如图，已知直角三角形A6C,NABC=90。，小明想做一个以A 3、8 c 为边的矩形,于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接8E并延长到O,使得E D =B E；（3）连接AD和 O C.则四边形ABCD即 为 所 求 的 矩 形.理 由 是.33.如图，ABUCD,P M、P N、QW、QN分别为角平分线，则四边形加QV是CB类型六、利用矩形的性质与判定求线段、角度及面积3 4.在矩形A8C。中，AB=4,B C=3,过点A 作/D4C的角平分线交8 c 的延长线于点 H,取 A 4 的中点P,连接B P,则 SaA8P=.35.如图，过矩形ABCD的对角线BO上一点K 分别作矩形两边的平行线MN与 PQ,那么图中矩形4WKP的面积耳与矩形QCNK的面积S2的大小关系是H 邑；(填“”或或”=36.如图，在 RtAABC中，NC=90。，AC=6,B C=2,点尸是AB边上的一点(异于A,B两点)，过点P 分别作4C,BC边的垂线，垂足分别为M,N,连接例M则 MN的最小值是.三、解答题37.如图，矩形A8CD的对角线AC、8。相交于点O,BE/AC,CE/DB.(1)求证：四边形0BEC是菱形；(2)若 A=4,A B=2,求菱形0BEC的面积.3 8.如图，矩形A8CD的对角线A C、8。相交于点0,过点8 作 研。4,且 8P=。4,连接转，求证：四边形A0BP是菱形.39.如 图 1,在AABC中，AB=AC,垂直平分AB,B E V A C,垂足为E.(1)求NBAC的度数;(2)如图 2,若 AF_L2C,垂足为凡 连接E凡 求N E/C 的度数.40.如图，在平行四边形A8CC中，对角线AC、BO交于点O,E、尸是AC上两点,且 A E=C F,连接 BE、E D、D F、FB 得四边形(1)求证：四边形8即尸是平行四边形.(2)当 EF、3。满足 条件时，四边形BECF是矩形.(不必、可明).41.如图，已知平行四边形A8CZ)中，是 8。上的两点，且 BM=ZW,AC=2OM.(1)求证：四边形AMCN是矩形;若 NBAO=135。，8=2,A B LA C,求四边形ABCO的面积.42.阅读下列材料，并解答其后的问题：我们知道，三角形的中位线平行于第一边，且等于第三边的一半，我们还知道，三角形的三条中位线可以将三角形分成四个全等的一角形，如 图 1,若 D、E、F 分别是AABC三边的中点，则有)E3 C,且 DF=BCQADF.D B E .F E C .EFD2(1)在 图 1中，若 的 面 积 为 1 5,则ADE尸的面积为；(2)在图2 中，己知E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、A D 的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形;(3)如 图 3 中，已 知 E、F、G、H 分 别 是 AB、BC、CD、A D 的中点,AC=4,B D =5t则四边形EFGH的面积为.参考答案1.D【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC,再根据等边对等角可得N08C=NAC8,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.解：；矩形4 8 8 的对角线AC,8 0 相交于点0,：.OB=OC,；.NO8C=NACB=28,二 N4O8=NO8C+NAC8=28+28=56.故选：D.【点拨】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键.2.D【分析】连接C E,设 EF交 AC 丁点0,根据矩形的性质和EF是 AC的垂直平分线，可得OA=O C =A C =245,EC=AE,OA=OC,再由勾股定理可得 AE=CE=5,从而得到 0E=6，再由AO Eg/XCO F,可得O F=O E,即可求解.解：如图，连 接 C E,设 尸交AC于点0,在矩形 A8CO 中，BC=AD=4,AB=CD=8,ZB=ZADC=90,AB/CD,AC=y/AD2+CD2=4A/5，/.OA=OC=-A C =245,2是AC的垂直平分线，；.EC=AE,OAOC,设 EC=AE=x,则 BE=AB-AE=S-x,在即BC 中，BE?+BC2=CE2,x2=42+(8-x)2,解得：x=5,：.AE=CE=5t9：EFL AC,OE=5：ABCD,：.ZOCF=ZOAE,4AEO=ZCFO,：OA=OC,.AAOEACOF,:.OF=OE,EF=2OE=245,故选：D.【点拨】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上相关知识是解题的关键.3.B【分析】先证得四边形8ECF是菱形，得到8EC的面积为:，再利用矩形的性质即可求解.解：BF/AC,CF/BD,，四边形BECF是平行四边形，:四边形ABC。是矩形，：.AE=CE,BE=DE,AC=BD,:.AE=BE=EC,四边形8EC尸是菱形:/.SBEC=SABFC=；S 四 边 形BECF=g ,四边形ABC。是矩形，二矩形ABCD的面积为4x；=2,故选：B.【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解决问题的关键.4.C【分析】先画出简单的图形，因为矩形两对角线相等且互相平分，又有角的度数，可由三角形内角和求解角的度数.解：