2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.1 菱形的性质与判定（知识讲解）

专题1.1菱形的性质与判定（知识讲解）【学习目标】1 .理解菱形的概念；2 .掌握菱形的性质定理与判定定理；3 .掌握求菱形的两种方法，利用等面积法求线段；利用菱形的对称称求最值；【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.特别说明：菱形的定义的两个要素：是平行四边形.有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.，菱形的定义也是判定菱形的方法。要点二、菱形的性质1 .从边出发：菱形的四条边都相等；2 .从对角线出发：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3 .菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.特 别说明：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.利用菱形是轴对称图形求几何最值问题。（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底 X高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1 .从边出发：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边相等的四边形是菱形.2 .从对角线出发：（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.特别说明；：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、利用菱形的性质求角1.如图，8。是菱形ABCD的对角线，NC8=75。，（1）请用尺规作图法，作 AB的垂直平分线E F,垂足为E,交 AD于 F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接防，求 3 尸的度数.【答案】（1）见分析；（2）45。【分析】（1）分别以“、8 为圆心，大于g A8长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可;（2）根 据。=口 48。-口/8尸计算即可；解：（1）如图所示，直线EF即为所求；A B D=D B C=g A B C=1 5,D C A B,A=C,2 4 8 C=1 5 0。,UC+aC=180,C=1力=30。.E尸垂直平分线段48,J A F=F B,/=口 尸 8力=30。，D B F=：A B D -UF B E=4 5 0.【点拨】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.【变 式 1】如图，在菱形43。中，A B =4,Z B A D =2 0,。是对角线3。的中点，过点。作 OE_LC于点E,连结。4.则四边形AOED的周长为（）A.9+2百 B.9+6 C.7+2 6 D.8【答案】B【分析1由已知及菱形的性质求得ABD=CDB=30。，AO B D,利用含30。的宜角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、D E,进而求得四边形AOED的周长.解：四边形ABCD是菱形，。是对 角 线 的 中 点，AO BD,AD=AB=4,ABLDCnnBAD=120,C ABD=：ADB=L CDB=30,OEODC,U 在 RtAAOD 中，AD=4,AO=1AD=2,DO=_ AO2=273-在 RtADEO 中，OE=；OO=g,DE=yloD2-O E2=3-四边形 的周长为 AO+OE+DE+AD=2+G+3+4=9+G ,故选：B.【点拨】本题考查菱形的性质、含 30。的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质及含30。的直角三角形边的关系是解答的关键.【变式2】如图，在菱形中，4 8 的垂直平分线交对角线8。于点尸，垂足为点E,连接 Z R A C,若LC8=70。，则 E L E 4 C=.【答案】20。【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出8/1C和FAB的度数，即可解决问题.解：七厂是线段48的垂直平分线，1AFBF,QQFABaFBA,口四边形4 5。是菱形，DCB=10,BC=AB,BCA=；D C B=35,A C BD,4 1 C=8 c 4=3 5。，F 8/=9 0。-匚 8/C=5 5。，8=5 5。，F A C=FAB-B A C=55 -35=20,故答案为：2 0 .【点拨】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.类型二、利用菱形的性质求线段2.如图，菱形A 8 C。中，作 B _ L A 、C F L A B,分别交A。、AB的延长线于点尸.(1)求证：A E=B F；(2)若点E恰好是A3的中点，AB=2,求的值.【答案】(1)见分析：(2)BD=2.【分析】(1)由“AAS”可证 MEBg ABFC,可得 A E=B F；(2)由线段垂直平分线的性质可得3 D=A B =2.解：(1)四边形A 8 C O 是菱形,AB=B C,A D/B C,ZA=ZCBF,BEYAD.CF-LAB,ZAEB=NBFC=900,AABABFC（A4S）,AE=BF；(2)上是AD 中点，且BELAD,直线BE为AD的垂直平分线，BD=AB=2.【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质,熟练运用菱形的性质是本题的关键.r【变 式 1】如图，在菱形ABC。中，ZABC-600,连接AC、B D,则的值为()BD【答案】D【分析】设4 c与BD的交点为0,由题意易得NAB=NCB0=gNABC,A2=BC,ACrBD,BO=DO,AO=C O,进 而 可 得/B C 是等边三角形，BO=&A O,然后问题可求解.解：设/C 与 8。的交点为0,如图所示：A DBO四边形ABC。是菱形,ZABD=ZCBD=-ZABC,AB=BC,AC 1.BD,BO=DO,AO=CO,2ZABC=60。,NBC是等边三角形，ZABO=30,AB=AC,AO=-AB,2OB=JAB2-AO2=6OA，BD=2OA,AC=2AO,AC 2OA 8BD 2 拒OA 3故选D.【点拨】本题主要考查菱形的性质、含30。角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练学握菱形的性质、含30。角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键.【变式2】如图，菱形4 8 8,以点8为圆心，8D长为半径作弧，交 于 点 氏 分别以点。，E为圆心，大 于;QE长为半径作弧，两弧交于点凡射线8厂 交 边 于 点G,连接 C G,若8CG=30。，/G=3,则的长为.B C【答案】巫2 分析 由作法得AGB=90,利用菱形的性质得到AD BC,AB=BC,所以G8C=90。，在RtBCG中，设8G=x,则B C=&,所以A B f x,在R 2 B G中利用勾股定理得到+32=（V3.r）2,然后解方程求出x,从而得到4 8的长.解：由作法得8G AD,L：XGB=90,四边形/8C。为菱形，AD BC,AB=BC,匚 G8C=90。，在m ABCG中,设3G=JG BCG=30,BC=y/3x,AB=43X,在用zUBG中，x-+32=(6 x)2,解得x尸 逑，X 2=-(舍去)，2 2/8=述=述.2 2故答案为：巫.2【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5 种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的性质.类型三、利用菱形的性质求面积，3.如图，在ABCD中，B C=2A B=4,点 E,F 分别是BC,A D 的中点.求证：ABEQCCDF；(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.【答案】(1)见试题解析；(2)2后【分析】(1)由oABCD 可得 AB=CD,BC=AD,ABC=：C D A,再结合点 E、F 分别是 BC、A D 的中点即可证得结论；(2)当四边形AECF为菱形时，可 得 ABE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果.解：在uABCD 中，AB=CD,BC=AD,ABC=LCDA.又 BE=EC=；BC,AF=DF=3AD,B E=D F.ABEQDCDF.(2)当四边形A E C F为菱形时，匚A B E为等边三角形，四边形A B C D的高为6,菱形A E C F的面积为2 G.【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等；菱形的四条边相等.【变 式1】已知菱形的周长为8,两邻角的度数比为1：2,则菱形的面积为()A.8 6 B.8 C.4百 D.2 7 3【答案】D【分析】根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果.解：如图，！两邻角度数之比为1：2,两邻角和为1 8 0。，1 Z U8 C=6 0,8 4。=1 2 0 ,口菱形的周长为8,口边长A B=2,菱形的对角线/C=2,S D=2 x 2 s i n 6 0=2 ,菱形的面积=3喈。=9 2 2 6=2 6.【点拨】本题考查菱形的性质，解题关键是掌握菱形的性质.【变式2】如图，在菱形4 5 c o中，E,尸分别是A D,0c的中点，若8 0 =5,E F =4,则菱形A B C D的面积为.【答案】2 0【分析】连接Z C,利用中位线的性质，得4 C=2 E 2 8,再利用菱形对角线乘积的一半求面积即可.解：连接4 cE,F分别是A。，DC的中点E/是 的中位线又 EF=4D J C=8S 差影ABCD=；x 8 O x N C=；5 x 8=2 0故答案为：2 0.【点拨】本题考查了中位线的性质以及菱形的面积求法，熟练掌握以上知识点作出辅助线是解决问题的关键.类型四、利用菱形的性质证明.如图，在菱形A B C D中，E,尸是对角线A C上的两点，且A E =C F.（1）求证：AABEaCD Ft（2）证明四边形B E D F是菱形.【分析】（1）利用S 4 S证明即可；（2）从对角线的角度加以证明即可.解：（1）四边形A 8 C。为菱形，AB=CD,.Z B A E Z D C F.又 二 AE=CF,Z V L B E K D F.(2)证明：连接3。交A C于点。，四边形A8CO为菱形，A C 1 B D,且。为AC,8。中点，又AE=CF,EO=FO8。与E F互相垂直且平分，故四边形BEDF是菱形.【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键.【变 式1】如图，四边形A5CO是菱形，点E,尸分别在8C,D C边上，添加以下条件不能判定AABEgAAZ）的 是（）A.BE=DF B.ZBAEZDAF C.AE=AD D.ZAEB=ZAFD【答案】C【分析】根据三角形全等判定定理 S可判定Z,三角形全等判定定理/S Z可判定8,三角形全等判定定理可判定C,三角形全等判定定理/Z S可判定D即可.解：四边形ABCD是菱形，AB=AD,B=仅A.添加3石=。厂可以，在A/1BE和 力。尸中，AB=AD /B =/D ,BE=DF ABE ADF(SA S),故选项/可以；8.添 加Nfi4=NZM F可以，在48E和 尸 中ZB A E =Z D A F A B =A D ,N B =N D A B E A D F(A S A)；故选项8可以；C.添 加 他=A D不可以，条件是边边角故不能判定；故选项C不可以；D.添加NAB=N AFD可以，在A/B E和/)尸中ZB E A =ZD F A C=3 5,在ACOH和ACO/中，NCHD=NCFDZX?）.【点拨】本题考查了菱形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维,多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向 纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论.类型六、证明已知四边形是菱形 6.如图，在QABCD中，G为8C边上一点，D G =D C,延长。G交 的 延