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2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区咸祥中心中学九年级（上）教学评估数学试卷（9月份）（附答案与解析）
一、填空题：（每小题3分，共15分）
1．（3分）如果函数y＝（k﹣2）+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 ．
2．（3分）将抛物线y＝﹣3x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为 ．
3．（3分）对于已知二次函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大．且此函数的最大值为 ．
4．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+4x+m＝0的解为 ．
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，比较下列各式与0的大小．
①abc 0；
②b2﹣4ac 0；
③（a+c）2﹣b2 0．
二、解答题：（共35分）
6．（6分）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴：
（1）y＝3x2﹣6x+4；
（2）y＝﹣x2+2x+．
7．（10分）已知一个二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的表达式；
（2）设抛物线与x轴分别交于点C、D，与y轴交于点E，求△CDE面积；
（3）若抛物线上存在P点使△PCD与△CDE的面积相等，求点P坐标．
8．（9分）某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？
（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
9．（10分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值；
（3）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出M点坐标．
附加题
10．已知点P（m，n）在以y轴为对称轴的抛物线y＝x2+ax+4上，求2m+n的最小值．
2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区咸祥中心中学九年级（上）教学评估数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、填空题：（每小题3分，共15分）
1．（3分）如果函数y＝（k﹣2）+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 0 ．
【分析】依据二次函数的定义可知k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2，从而可求得k的值．
【解答】解：由题意得：k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2．
解得k＝0或k＝2且k≠2．
∴k的值是0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．（3分）将抛物线y＝﹣3x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为 y＝﹣3（x﹣2）2﹣3 ．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为：y＝﹣3（x﹣2）2﹣3．
故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2﹣3．
【点评】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
3．（3分）对于已知二次函数，当x ＞1 时，函数值y随x的增大而减小；当x ＜1 时，函数值y随x的增大而增大．且此函数的最大值为 ．
【分析】先将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可解答本题．
【解答】解：∵函数y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x＜1时，函数值y随x的增大而增大．且此函数的最大值为，
故答案为：＞1，＜1，．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+4x+m＝0的解为 x1＝﹣2，x2＝6 ．
【分析】根据二次函数的图象关于对称轴对称，由题目中给出的图象，可以求得图象与x轴的另一个交点，从而解答本题．
【解答】解：∵由函数图象可知二次函数y＝﹣x2+4x+m的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点为（6，0），
∴二次函数y＝﹣x2+4x+m与x轴的另一个交点的横坐标为：2×2﹣6＝﹣2．
∴二次函数y＝﹣x2+4x+m与x轴的另一个交点的坐标为：（﹣2，0）．
∴令y＝0，则﹣x2+4x+m＝0得，x1＝﹣2，x2＝6．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝6．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是能看懂函数的图象，能明确二次函数与一元二次方程的关系．
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，比较下列各式与0的大小．
①abc ＞ 0；
②b2﹣4ac ＞ 0；
③（a+c）2﹣b2 ＜ 0．
【分析】①抛物线开口向下得到a＜0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＜0；
②抛物线与x轴有2个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；
③取x＝1，观察图象得到图象在x轴下方，则x＝1，y＝a+b+c＜0；取x＝﹣1，观察图象得到图象在x轴下方，则x＝﹣1，y＝a﹣b+c＜0．所以可以推知③（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）的符号．
【解答】解：①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x＝﹣＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，则c＞0，
∴abc＞0．
故答案为：＞；
②抛物线与x轴有2个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0．
故答案为：＞；
③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x＝1时，y＝a+b+c＜0；
当自变量为﹣1时，图象在x轴上方，则x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0．
则③（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、解答题：（共35分）
6．（6分）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴：
（1）y＝3x2﹣6x+4；
（2）y＝﹣x2+2x+．
【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）∵y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，
∴该函数图象的开口向上，顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，
∴该函数图象的开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x＝2．
【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（10分）已知一个二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的表达式；
（2）设抛物线与x轴分别交于点C、D，与y轴交于点E，求△CDE面积；
（3）若抛物线上存在P点使△PCD与△CDE的面积相等，求点P坐标．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+4，然后把B点坐标代入求出a得到抛物线解析式；
（2）解方程﹣（x+1）2+4＝0得C（﹣3，0），D（1，0），再确定E（0，3），然后利用三角形面积公式计算△CDE的面积；
（3）设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），利用三角形面积公式得到×4×|﹣t2﹣2t+3|＝6，然后解方程﹣t2﹣2t+3＝3或方程﹣t2﹣2t+3＝﹣3得P点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，
把B（2，﹣5）代入得a（2+1）2+4＝5，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，
即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（﹣3，0），D（1，0），
当x＝0时，y＝﹣（0+1）2+4＝3，
∴E（0，3），
∴△CDE的面积＝×（1+3）×3＝6；
（3）设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），
∵△PCD与△CDE的面积相等，
∴×4×|﹣t2﹣2t+3|＝6，
解方程﹣t2﹣2t+3＝3得t1＝﹣2，t2＝0（舍去），
此时P点坐标为（﹣2，0），
解方程﹣t2﹣2t+3＝﹣3得t1＝﹣1﹣，t2＝﹣1+，
此时P点坐标为（﹣1﹣，﹣3）或（﹣1+，﹣3），
综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（﹣1﹣，﹣3）或（﹣1+，﹣3）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8．（9分）某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？
（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
【分析】（1）根据题意设出每天降价x元以后，准确表示出每天书刊的销售量，列出利润y关于降价x的函数关系式；
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题；
（3）运用函数的性质即可解决．
【解答】解：（1）设每套书降价x元时，所获利润为y元，
则每天可出售20+4×＝20+2x套；
由题意得：y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+80x﹣20x+800
＝﹣2x2+60x+800；
（2）当y＝1200时，﹣2（x﹣15）2+1250＝1200，
整理得：（x﹣15）2＝25，
解得x＝10或20但为了尽快减少库存，所以只取x＝20，
答：若每天盈利1200元，为了尽快减少库存，则应降价20元；
（3）∵y＝﹣2（x﹣15）2+1250＝1200
则当x＝15时，y取得最大值1250；
即当将价15元时，该书店可获得最大利润1250元．
【点评】此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题．
9．（10分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物
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