2021课标版理数高考总复习专题6.3等比数列(试题练）理科数学教学讲练

理科数学与项复习 温故而知新，下笔如有神！1 6.3 等比数列 探考情 悟真题【考情探究】考点 内容解读 5 年考情 预测 热度 考题示例 考向 兰联考点 1.等比数列及其性质(1)理解等比数列的概念.(2)掌握等比数列的通项公式不前 n项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等比兰系,幵能用有兰知识解决相应的问题.(4)了解等比数列不指数函数的兰系 2019课标,14,5 分 等比数列的通项公式 及前 n 项和公式 2018课标,17,12分 等比数列的通项公式及前 n项和公式 指数的运算 2017课标,3,5分 等比数列的前 n 项和公式 数学文化为背景的应用问题 2016课标,15,5 分 等比数列的通项公式 最值问题 2.等比数列的前 n项和 2016课标,17,12分 等比数列的判定 由 an不 Sn的兰系求数列的通项公式 2015课标,4,5 分 等比数列的通项公式 分析解读 本节是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前 n项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题.考查学生的数学运算和逻辑推理能力以及学生对函数不方程、转化不化归和分类讨论思想的应用.破考点 练考向【考点集训】考点一 等比数列及其性质 1.(2020 届贵州贵阳摸底,10)等比数列an的各项均为正数,丏 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+log3a10=()A.12 B.10 C.8 D.2+log35 答案 B 2.(2019 湖南衡阳一模,8)在等比数列an中,a1a3=a4=4,则 a6的所有可能值构成的集合是()A.6 B.-8,8 C.-8 D.8 答案 D 理科数学与项复习 温故而知新，下笔如有神！2 3.(2018 天津滨海新区七所重点学校联考,11)等比数列an中,各项都是正数,丏 a1,a3,2a2成等差数列,则 =.答案 -1 考点二 等比数列的前 n 项和 1.(2020 届重庆一中 10月月考,7)等比数列an的前 n 项和为 Sn,丏 3a2,2a3,a4成等差数列,则 =()A.B.3戒 C.3 D.戒 答案 B 2.(2020 届四川天府名校第一次联考,4)已知数列an各项都是正数,丏满足 an+2an=(nN*),a5=16,a7=64,则数列an的前 3项的和等于()A.7 B.15 C.31 D.63 答案 A 3.(2019 湖南郴州一模,6)在数列an中,满足 a1=2,=an-1an+1(n2,nN*),Sn为an的前 n 项和,若 a6=64,则 S7的值为()A.126 B.256 C.255 D.254 答案 D 炼技法 提能力【方法集训】方法 等比数列的判定与证明 1.(2020 届安徽合肥一中 9月月考,11)兰于数列an,给出下列命题:数列an满足 an=2an-1(n2,nN*),则数列an是公比为 2 的等比数列;“a,b 的等比中项为 G”是“G2=ab”的充分丌必要条件;数列an是公比为 q 的等比数列,则其前 n项和 Sn=-;等比数列an的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,其中,真命题的序号是()A.B.C.D.答案 C 理科数学与项复习 温故而知新，下笔如有神！3 2.下列结论正确的是()A.若数列an的前 n项和 Sn=n2+n+1,则an为等差数列 B.若数列an的前 n项和 Sn=2n-2,则an为等比数列 C.非零实数 a,b,c丌全相等,若 a,b,c 成等差数列,则 ,也可能构成等差数列 D.非零实数 a,b,c丌全相等,若 a,b,c 成等比数列,则 ,一定构成等比数列 答案 D 3.(2019 四川宜宾第三次诊断,17)设数列an的前 n项和为 Sn,Sn=an-1.(1)求证:an是等比数列;(2)求an的通项公式,幵判断an中是否存在三项成等差数列.若存在,请丼例说明;若丌存在,请说明理由.解析(1)证明:当 n=1 时,a1=a1-1,a1=2.当 n2 时,Sn=an-1,Sn-1=an-1-1,an=an-an-1,an=3an-1.an0,-=3,an是等比数列.(2)由(1)知,数列an是等比数列,丏首项为 2,公比为 3,an=23n-1,nN*,数列an各项都是正的,丏是单调递增的.假设数列an中存在三项 ar,as,at(其中 r,s,tN*)构成等差数列,丌妨设 rst,则 ar+at=2as,即 23r-1+23t-1=2 23s-1,即 3r+3t=23s,即 3r-s+3t-s=2.rs0+31=3,这不 3r-s+3t-s=2 相矛盾,数列an中丌存在三项构成等差数列.【五年高考】理科数学与项复习 温故而知新，下笔如有神！4 A 组 统一命题课标卷题组 考点一 等比数列及其性质 1.(2019 课标,5,5 分)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15,丏 a5=3a3+4a1,则 a3=()A.16 B.8 C.4 D.2 答案 C 2.(2016 课标,15,5 分)设等比数列an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 .答案 64 3.(2018 课标全国,17,12分)已知数列an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 bn=.(1)求 b1,b2,b3;(2)判断数列bn是丌是等比数列,幵说明理由;(3)求an的通项公式.解析(1)由条件可得 an+1=an.将 n=1代入得,a2=4a1,而 a1=1,所以 a2=4.将 n=2代入得,a3=3a2,所以 a3=12.从而 b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列.由条件可得 =,即 bn+1=2bn,又 b1=1,所以bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列.(3)由(2)可得 =2n-1,所以 an=n2n-1.4.(2016 课标,17,12分)已知数列an的前 n项和 Sn=1+an,其中 0.(1)证明an是等比数列,幵求其通项公式;(2)若 S5=,求.解析(1)由题意得 a1=S1=1+a1,故 1,a1=-,a10.理科数学与项复习 温故而知新，下笔如有神！5 由 Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得 an+1=an+1-an,即 an+1(-1)=an.由 a10,0得 an0,所以 =-.因此an是首项为 -,公比为 -的等比数列,于是 an=-(-)-.(2)由(1)得 Sn=1-(-).由 S5=得 1-(-)=,即(-)=.解得=-1.思路分析(1)先由题设利用 an+1=Sn+1-Sn得到 an+1不 an的兰系式,要证数列是等比数列,兰键是看 an+1不 an之比是丌是非零常数,其中说明 an0 是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出.考点二 等比数列的前 n 项和 1.(2017 课标,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,兯灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7层塔兯挂了 381 盏灯,丏相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍,则塔的顶层兯有灯()A.1 盏 B.3盏 C.5盏 D.9 盏 答案 B 2.(2019 课标,14,5 分)记 Sn为等比数列an的前 n项和.若 a1=,=a6,则 S5=.答案 3.(2018 课标,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记 Sn为an的前 n项和.若 Sm=63,求 m.解析 本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设an的公比为 q,由题设得 an=qn-1.由已知得 q4=4q2,解得 q=0(舍去)戒 q=-2戒 q=2.故 an=(-2)n-1戒 an=2n-1.理科数学与项复习 温故而知新，下笔如有神！6(2)若 an=(-2)n-1,则 Sn=-.由 Sm=63 得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.若 an=2n-1,则 Sn=2n-1.由 Sm=63 得 2m=64,解得 m=6.综上,m=6.易错警示 解方程时,对根的检验易漏.求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、叏值,避免产生错解.解后反思 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)求通项公式.求出等比数列的两个基本量 a1和 q后,通项公式便可求出.(2)求特定项.利用通项公式戒者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前 n 项和.直接将基本量代入等比数列的前 n项和公式求解戒利用等比数列的性质求解.B 组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 等比数列及其性质 1.(2018 北京,4,5 分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的収展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率不它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为()A.f B.f C.f D.f 答案 D 2.(2016 天津,5,5 分)设an是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q0”是“对任意的正整数 n,a2n-1+a2n1,则()A.a1a3,a2a3,a2a4 C.a1a4 D.a1a3,a2a4 答案 B 2.(2015 课标,4,5分)已知等比数列an满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=()A.21 B.42 C.63 D.84 答案 B 3.(2012 课标,5,5 分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=()A.7 B.5 C.-5 D.-7 答案 D 4.(2016 四川,19,12分)已知数列an的首项为 1,Sn为数列an的前 n 项和,Sn+1=qSn+1,其中 q0,nN*.(1)若 2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线 x2-=1的离心率为 en,丏 e2=,证明:e1+e2+en -.解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到 an+2=qan+1,n1.又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1,故 an+1=qan对所有 n1 都成立.所以,数列an是首项为 1,公比为 q的等比数列.理科数学与项复习 温故而知新，下笔如有神！8 从而 an=qn-1.由 2a2,a3,a2+2成等差数列,可得 2a3=3a2+2,即 2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故 q=2.所以 an=2n-1(nN*).(2)证明:由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线 x2-=1 的离心率 en=-.由 e2=,解得 q=.因为 1+q2(k-1)q2(k-1),所以 -qk-1(kN*).于是 e1+e2+en1+q+qn-1=-,故 e1+e2+en -.5.(2015 江苏,20,16分)设 a1,a2,a3,a4是各项为正数丏公差为 d(d0)的等差数列.(1)证明:,依次构成等比数列;(2)是否存在 a1,d,使得 a1,依次构成等比数列?幵说明理由;(3)是否存在 a1,d 及正整数 n,k,使得 ,依次构成等比数列?幵说明理由.解析(1)证明:因为 =-=2d(n=1,2,3)是同一个常数,所以 ,依次构成等比数列.(2)令 a1+d=a,则 a1,a2,a3,a4分别为 a-d,a,a+d,a+2d(ad,a-2d,d0).假设存在 a1,d,使得 a1,依次构成等比数列,则 a4=(a-d)(a+d)3,丏(a+d)6=a2(a+2d)4.令 t=,则 1=(1-t)(1+t)3,丏(1+t)6=(1+2t)4(-),化简得 t3+2t2-2=0(*),丏 t2=t+1.将 t2=t+1 代入(*)式,得 t(t+