浙江版高考数学总复习专题8.4直线、平面垂直的判定和性质（讲解练）教学讲练

考点清单 方法技巧 栏目索引 8.4　直线、平面垂直的判定和性质 高考数学高考数学  浙江专用浙江专用  考点清单 方法技巧 栏目索引 考点考点    直线、平面垂直的判定和性质直线、平面垂直的判定和性质 考点考点清单清单 考向基础考向基础 一、线面、面面垂直的判定 1.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直 线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直. (2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这 条直线垂直于这个平面;用数学符号表示为:已知m⊂α,n⊂α,m∩n=B,l⊥m,l ⊥n,则l⊥α.  考点清单 方法技巧 栏目索引 2.点到平面的距离、线到面的距离 (1)从平面外一点引平面的一条垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点 到这个平面的距离. (2)一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离, 叫做这条直线和这个平面的距离. 3.斜线在平面内的射影 (1)从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足与斜足的直线叫做斜线 在这个平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段在 这个平面内的射影. (2)斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.  考点清单 方法技巧 栏目索引 4.垂线段和斜线段长定理 在空间内,从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:(1)垂线段 最短;(2)射影相等的两条斜线段相等,两条斜线段相等,它们的射影也相等; (3)射影较长的斜线段也较长,较长的斜线段的射影也较长.这就是垂线段 和斜线段长定理,应当注意:定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同 一点引出的,缺少这个条件,结论不成立.  考点清单 方法技巧 栏目索引 5.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,平面α和β相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这 两个平面互相垂直.记作α⊥β. (2)判定定理:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂 直.符号表示为 ⇒β⊥α. 二、线面、面面垂直的性质 1.直线与平面垂直的性质定理 同垂直于一个平面的两直线平行. 2.直线与平面所成的角(设为θ) (1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影 所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和平  考点清单 方法技巧 栏目索引 面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0°的角. 　　(3)最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线 所成的一切角中最小的角. 3.平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表 示为 ⇒a⊥β. 直线l和平面α 的位置关系 l⊂α 或l∥α l⊥α l和α斜交 θ的取值或范围 θ=0 θ=  θ∈   考点清单 方法技巧 栏目索引 4.二面角的概念及计算 (1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做 二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 棱为AB,面分别为α、β的二面角记作二面角α-AB-β,如果棱为l,那么这个二 面角记作α-l-β. (2)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平 面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这 个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.  考点清单 方法技巧 栏目索引 考向突破考向突破 考向考向    空间垂直关系的判定空间垂直关系的判定 例例1    (2019浙江高考模拟试卷(三),5)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,现 给出以下四个命题: ①l∥β⇒l∥m;②α∥β⇒l⊥m; ③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒l⊥β. 其中,是正确命题的是 (　　) A.①②③④　    B.①③ C.②④　    D.②③  考点清单 方法技巧 栏目索引 解析解析　考虑正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,BC⊂平面BCC1B1, AA1∥平面BCC1B1,但AA1⊥BC,所以①错;AA1⊥平面ABCD,BC⊂平面BCC1 B1,AA1⊥BC,但AA1∥平面BCC1B1,所以④错;对于②,因为l⊥α,α∥β,所以l⊥ β,又m⊂β,所以l⊥m,所以②正确;对于③,因为l⊥α,l∥m,所以m⊥α,又m⊂β, 所以α⊥β,所以③正确.故选D. 答案答案    D  考点清单 方法技巧 栏目索引 例例2    (2019浙江名校协作体联考,19)如图,在三棱锥P-ABC中,△PAC和△ ABC均为等腰三角形,且∠APC=∠BAC=90°,PB=AB=4. (1)判断AB⊥PC是否成立,并给出证明; (2)求直线PB与平面ABC所成角的正弦值.     考点清单 方法技巧 栏目索引 解析　解析　(1)AB⊥PC不成立.证明如下: 假设AB⊥PC,因为AB⊥AC,且PC∩AC=C, 所以AB⊥平面PAC, 所以AB⊥PA,这与已知PB=AB=4矛盾, 所以AB⊥PC不成立. (2)解法一:取AC的中点O,BC的中点G,连接PO,OG,PG, 由已知得PO=OG=PG=2, AC⊥PO,AC⊥OG,且PO∩OG=O, 所以AC⊥平面POG,又AC⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面POG, 取OG的中点H,连接BH, 则PH⊥平面ABC,  考点清单 方法技巧 栏目索引 所以∠PBH就是直线PB与平面ABC所成的角, 因为PH= ,PB=4,所以sin∠PBH= = ,即直线PB与平面ACB所成角的 正弦值为 .   解法二:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),  考点清单 方法技巧 栏目索引   设P(x,y,z),由 即  解得 所以P(1,2, ), 则 =(3,-2,- ),  考点清单 方法技巧 栏目索引 易知平面ABC的一个法向量是n=(0,0,1), 设直线PB与平面ABC所成角的大小为θ, 所以sin θ= = ,即直线PB与平面ABC所成角的正弦值为 .  考点清单 方法技巧 栏目索引 线面垂直的判定方法线面垂直的判定方法方法1 方法技巧方法技巧 1.线面垂直的定义. 2.线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,b∩c=M⇒a⊥α). 3.平行线垂直平面的传递性(a∥b,b⊥α⇒a⊥α). 4.面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a⊂β,a⊥l⇒a⊥α). 5.面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β). 6.面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ). 7.向量法:证明直线的方向向量为平面的法向量.  考点清单 方法技巧 栏目索引 例例1    (2019浙江三校联考,19)如图,已知四棱锥A-BCDE中,AB=BC=2, ∠ABC=120°,AE=2 ,CD∥BE,BE=2CD=4,∠EBC=60°. (1)求证:EC⊥平面ABC; (2)求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.    考点清单 方法技巧 栏目索引 解题导引解题导引 (1)  (2)      考点清单 方法技巧 栏目索引 解析解析　(1)证明:在△ABC中,由余弦定理得AC=2 , 在△EBC中,由余弦定理得EC=2 . 由CE2+CA2=EA2,CE2+CB2=EB2得EC⊥CA,EC⊥CB, 又CA∩CB=C, 所以EC⊥平面ABC. (7分) (2)如图,建立空间直角坐标系C-xyz,    考点清单 方法技巧 栏目索引 则C(0,0,0),E(0,0,2 ),A(2 ,0,0),B( ,1,0), 所以 =(- ,1,0), =(-2 ,0,2 ), =(- ,-1,2 ), =  =  . 所以D ,所以 = . (11分) 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则  从而  令x=1,则n=(1, ,1). (13分) 记直线AD与平面ABE所成的角为α, 则sin α= = . (15分)  考点清单 方法技巧 栏目索引 方法2    面面垂直的判定方法面面垂直的判定方法 1.面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算其平面角为90 °). 2.面面垂直的判定定理:a⊥β,a⊂α⇒α⊥β. 3.向量法:证明两个平面的法向量垂直.  考点清单 方法技巧 栏目索引 例例2    (2019浙江名校新高考研究联盟联考,19)如图,在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD,AB∥CD,CD=4,PA=AB=BC=AD=2,Q为棱PC上的一点,且 PQ= PC. (1)证明:平面QBD⊥平面ABCD; (2)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值.    考点清单 方法技巧 栏目索引 (1)  (2)   解题导引解题导引  考点清单 方法技巧 栏目索引 解析解析　(1)证明:连接AC与BD交于点O,连接OQ, 则由△ABO∽△CDO,AB=2,CD=4,得AO= AC, 因为PQ= PC,所以QO∥PA,又PA⊥平面ABCD, 所以QO⊥平面ABCD. (4分) 又QO⊂平面QBD,所以平面QBD⊥平面ABCD. (7分) (2)过点D作平面PBC的垂线,垂足为H,则∠DQH即为所求的线面角θ, 设DH=h,由VQ-BCD=VD-BCQ, 即 S△BCD·QO= S△BCQ·h, 得 ×2 × = ×  ×h, (9分) 解得h= , (11分)  考点清单 方法技巧 栏目索引 因为QD2=QO2+OD2,所以QD= , (13分) 所以sin θ= = . (15分)