线性代数ppt课件-6第五节

线性变换在基下的矩阵线性变换在基下的矩阵线性变换在基下的矩阵线性变换在基下的矩阵主要内容主要内容举例举例举例举例线性变换在不同基下的矩阵的关系线性变换在不同基下的矩阵的关系线性变换在不同基下的矩阵的关系线性变换在不同基下的矩阵的关系第第 五五 节节 线性变换的矩阵表示式线性变换的矩阵表示式 上节例上节例 11 中中,关系式关系式 i=T(ei)(i=1,2,n)，,n=Aen(e1,e2,en 为单位坐标向量为单位坐标向量),即即关系式来表示关系式来表示.为此为此,考虑到考虑到 1=Ae1,2=Ae2,自然希望自然希望 Rn 中任何一个线性变换都能用这样的中任何一个线性变换都能用这样的简单明了地表示出简单明了地表示出 Rn 中的一个线性变换中的一个线性变换.我们我们 T(x)=Ax (x Rn)一、线性变换在基下的矩阵一、线性变换在基下的矩阵可见如果线性变换可见如果线性变换 T 有关系式有关系式 T(x)=Ax,那么矩那么矩 T(x)=T(e1,en)x =T(x1e1+x2e2+xnen)=x1T(e1)+x2T(e2)+xnT(en)=(T(e1),T(e2),T(en)x =(1,2,n)x=Ax.系式系式换换 T 使使 T(ei)=i(i=1,2,n),那么那么 T 必有关必有关阵阵 A 应以应以 T(ei)为列向量为列向量.反之反之,如果一个线性变如果一个线性变 总之总之,Rn 中任何线性变换中任何线性变换 T 都能用关系式都能用关系式有有 把上面的讨论推广到一般的线性空间把上面的讨论推广到一般的线性空间,我们我们表示表示,其中其中 A=(T(e1),T(en).T(x)=Ax (x Rn)定义定义 6 设设设设 T T 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V Vn n 中的线性变换中的线性变换中的线性变换中的线性变换,在变换在变换在变换在变换 T T 下的像下的像下的像下的像(用这个基线性表示用这个基线性表示用这个基线性表示用这个基线性表示)为为为为在在在在 V Vn n 中取定一个基中取定一个基中取定一个基中取定一个基 1 1,2 2,n n,如果如果如果如果这个基这个基这个基这个基记记记记 T T(1 1,2 2,n n)=()=(T T(1 1),),T T(2 2),),T T(n n),),其中其中其中其中那么那么那么那么,A A 就称为就称为就称为就称为线性变换线性变换 T 在基在基 1,2,n 下的矩阵下的矩阵.T T(1 1,2 2,n n)=)=(1 1,2 2,n n)A A ，上式可表示为上式可表示为上式可表示为上式可表示为 显然显然,矩阵矩阵 A 由基的像由基的像 T(1),T(2),T(n)Vn 中的任意元素记为中的任意元素记为特性我们来推导变换特性我们来推导变换 T 必须满足的关系式必须满足的关系式.变换变换 T 下的像下的像,那么那么,根据变换根据变换 T 保持线性关系的保持线性关系的 1,2,n 下的矩阵下的矩阵,也就是给出了这个基也就是给出了这个基在在 如果给出一个矩阵如果给出一个矩阵 A 作为线性变换作为线性变换 T 在基在基唯一确定唯一确定.于是有于是有即即这个关系式唯一地确定一个变换这个关系式唯一地确定一个变换 T,可以验证可以验证以以 A 为矩阵的线性变换为矩阵的线性变换 T 由关系式由关系式(1)唯一确定唯一确定.所确定的变换所确定的变换 T 是以是以 A 为矩阵的线性变换为矩阵的线性变换.总之总之,定义定义 6 和上面一段讨论表明和上面一段讨论表明,在在 Vn 中取定一中取定一 n 下的坐标分别为下的坐标分别为 由关系式由关系式(1),可见可见 与与 T()在基在基 1,关系关系.T,A,由一个矩阵由一个矩阵 A 也可唯一地确定一个线性变换也可唯一地确定一个线性变换个基以后个基以后,由线性变换由线性变换 T 可唯一地确定一个矩阵可唯一地确定一个矩阵这样这样,在线性变换与矩阵之间就有一一对应的在线性变换与矩阵之间就有一一对应的即按坐标表示即按坐标表示,有有 T()=A .例例 12 在在 P x3 中中,取基取基求微分运算求微分运算 D 的矩阵的矩阵.二、举例二、举例 解解所以所以 D 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为例例 13 在在 R3 中中,T 表示将向量投影到表示将向量投影到 平面的线性变换平面的线性变换,即即(1)取基取基为为求求 T 的矩阵的矩阵;(2)取基取基为为求求 T 的矩阵的矩阵.解解 (1)即即 (2)即即 由上例可见由上例可见,同一个线性变换在不同的基下同一个线性变换在不同的基下依次为依次为依次为依次为 A A 和和和和 B B,那么那么那么那么 B B=P P-1 1APAP.阵为阵为阵为阵为 P P,V Vn n 中的线性变换中的线性变换中的线性变换中的线性变换 T T 在这两个基下的矩阵在这两个基下的矩阵在这两个基下的矩阵在这两个基下的矩阵由基由基由基由基 1 1,2 2,n n 到基到基到基到基 1 1,2 2,n n 的过渡矩的过渡矩的过渡矩的过渡矩 1 1,2 2,n n.1 1,2 2,n n;定理定理 2 设线性空间设线性空间设线性空间设线性空间 V Vn n 中取定两个基中取定两个基中取定两个基中取定两个基有不同的矩阵有不同的矩阵.一般地一般地,我们有我们有三、线性变换在不同基下的矩阵的关系三、线性变换在不同基下的矩阵的关系 证证 按定理的假设按定理的假设,有有 (1,n)=(1,n)P,P 可可逆逆;及及 T(1,n)=(1,n)A,T(1,n)=(1,n)B.于是于是 (1,n)B=T(1,n)=T(1,n)P=T(1,n)P =(1,n)AP=(1,n)P-1AP,因为因为 1,n 线性无关线性无关,所以所以 B=P-1AP.证毕证毕证毕证毕 这个定理表明这个定理表明 B 与与 A 相似相似,且两个基之间的且两个基之间的过渡矩阵过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵就是相似变换矩阵.例例 14 设设 V2 中的线性变换中的线性变换 T 在基在基 1,2 下下的矩阵为的矩阵为求求 T 在基在基 2,1 下的矩阵下的矩阵.解解 即即求得求得于是于是 T 在基在基(2,1)下的矩阵下的矩阵为为 定义定义 7 线性变换线性变换线性变换线性变换 T T 的像空间的像空间的像空间的像空间 T T(V Vn n)的维数的维数的维数的维数,若若 T 的秩为的秩为 r,则则 T 的核的核 ST 的维数为的维数为 n-r.显然显然,若若 A 是是 T 的矩阵的矩阵,则则 T 的秩就是的秩就是 R(A).称为线性变换的秩称为线性变换的秩称为线性变换的秩称为线性变换的秩.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.