中考数学重难点-第十九讲-等腰三角形ppt课件(考点梳理+高频考点+创新题型)

第十九讲 等腰三角形1.1.了解：等腰三角形的有关概念；等边三角形的概念；了解：等腰三角形的有关概念；等边三角形的概念；2.2.理解：线段垂直平分线的性质；理解：线段垂直平分线的性质；3.3.掌握：等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件；掌握：等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件；等边三角形的性质及判定；等边三角形的性质及判定；4.4.会：利用等腰三角形的性质和判定解决问题；会：利用等腰三角形的性质和判定解决问题；5.5.能：利用尺规作图作出等腰三角形能：利用尺规作图作出等腰三角形.一、等腰三角形的概念、性质及判定一、等腰三角形的概念、性质及判定1.1.概念：有两条边概念：有两条边_的三角形叫做等腰三角形的三角形叫做等腰三角形.2.2.性质：性质：(1)(1)等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角_(_(简写为简写为“_”)_”)；(2)(2)等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”：顶角：顶角_、底边上的、底边上的_、底边上的高相互重合；、底边上的高相互重合；(3)(3)等腰三角形是等腰三角形是_对称图形，对称图形，_(_(_、_)_)所在的直线是它的对称轴所在的直线是它的对称轴.相等相等相等相等等边对等边对等角等角平分线平分线中线中线轴轴底边上的中线底边上的中线顶角平分顶角平分线线底边上的高底边上的高3.3.判定：判定：(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也_(_(简写为简写为“_”)._”).相等相等等角对等边等角对等边【即时应用即时应用】1.1.如图，如图，ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，点，点D D为为BCBC的中点，的中点，BAD=20BAD=20，则，则C=_.C=_.70702.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，BACBAC的角平分线交的角平分线交BCBC边于点边于点D D，ABAB5 5，BCBC6 6，则，则ADAD_4 43.3.如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，A A3636，BDBD，CECE分别是分别是ABCABC，BCDBCD的角平分线，则图中的等腰三角形有的角平分线，则图中的等腰三角形有_个个.5 5二、等边三角形的概念、性质及判定二、等边三角形的概念、性质及判定1.1.概念：三条边都概念：三条边都_的三角形叫做等边三角形的三角形叫做等边三角形.2.2.性质：性质：(1)(1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于等于_；(2)(2)等边三角形是轴对称图形，并且有等边三角形是轴对称图形，并且有_条对称轴条对称轴.3.3.判定：判定：(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)三个角三个角_的三角形是等边三角形；的三角形是等边三角形；(3)(3)有一个角等于有一个角等于6060的的_三角形是等边三角形三角形是等边三角形.相等相等6060三三相等相等等腰等腰【即时应用即时应用】1.1.边长为边长为4 4的正三角形的高为的正三角形的高为_._.2.2.如图，在边长为如图，在边长为1 1的等边的等边ABCABC中，中线中，中线ADAD与中线与中线BEBE相交于点相交于点O O，则，则OAOA的长度为的长度为_三、线段的垂直平分线三、线段的垂直平分线1.1.定义：经过线段定义：经过线段_并且并且_于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线.2.2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_._.3.3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_._.中点中点垂直垂直相等相等垂直平分线上垂直平分线上【即时应用即时应用】1.1.如图，直线如图，直线CDCD是线段是线段ABAB的垂直平分的垂直平分线，线，P P为直线为直线CDCD上的一点，已知线段上的一点，已知线段PA=5PA=5，则线段，则线段PBPB的长度为的长度为_._.2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=5 cmAB=5 cm，AC=3 cmAC=3 cm，BCBC的垂直平分线分的垂直平分线分别交别交ABAB，BCBC于于D D，E E，则，则ACDACD的周长为的周长为_cm_cm5 58 8【核心点拨核心点拨】1.1.等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”叙述时一定要强调是指底边上的叙述时一定要强调是指底边上的中线、底边上的高和顶角的角平分线重合中线、底边上的高和顶角的角平分线重合.2.2.等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形形.等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛1 1等腰三角形常用的等腰三角形常用的“三条辅助线三条辅助线”(1)(1)作底边的高；作底边的高；(2)(2)作底边上的中线；作底边上的中线；(3)(3)作顶角的角平作顶角的角平分线分线.2.2.证明三角形是等腰三角形的证明三角形是等腰三角形的“两种方法两种方法”(1)(1)需证明三角形的两边相等；需证明三角形的两边相等；(2)(2)证明有两个角相等，等角对等边证明有两个角相等，等角对等边.3.3.含有含有3636角的等腰三角形很特别，在其中可以构造出角的等腰三角形很特别，在其中可以构造出很多等腰三角形很多等腰三角形.特特别别提提醒醒1.“1.“等边对等角等边对等角”和和“等角对等边等角对等边”的前提条件是必须的前提条件是必须在同一个三角形中；在同一个三角形中；2.2.一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形；形；3.3.一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形；腰三角形；4.4.一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形等腰三角形.【例例1 1】(2011(2011扬州中考扬州中考)已知：已知：如图，锐角如图，锐角ABCABC的两条高的两条高BDBD，CECE相交于点相交于点O O，且，且OB=OC.OB=OC.(1)(1)求证：求证：ABCABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)(2)判断点判断点O O是否在是否在BACBAC的角平的角平分线上，并说明理由分线上，并说明理由【思路点拨思路点拨】(1)(1)【自主解答自主解答】(1)OB=OC(1)OB=OC，OBC=OCB.OBC=OCB.BD,CEBD,CE是两条高是两条高,BDC=CEB=90,BDC=CEB=90.又又BC=CB,BDCCEB(AAS).BC=CB,BDCCEB(AAS).EBC=DCB,AB=AC,EBC=DCB,AB=AC,ABC ABC是等腰三角形是等腰三角形(2)(2)点点O O在在BACBAC的角平分线上连接的角平分线上连接AOAOBDCCEB,BD=CE,BDCCEB,BD=CE,OB=OC,OD=OE.OB=OC,OD=OE.又又BDC=CEB=90BDC=CEB=90,AO=AO,AO=AO,ADOAEO(HL),ADOAEO(HL),DAO=EAO,DAO=EAO,点点O O在在BACBAC的角平分线上的角平分线上【对点训练对点训练】1.(20111.(2011黔南州中考黔南州中考)如图，如图，ABCABC中中,AB=AC,AB=AC=6,BC=8=6,BC=8，AEAE平分平分BACBAC交交BCBC于点于点E,E,点点D D为为ABAB的的中点，连接中点，连接DE,DE,则则BDEBDE的周长是的周长是()()(A)(B)10(A)(B)10(C)(D)12(C)(D)12【解析解析】选选B.B.由等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高重合，由等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高重合，可知可知AEBC,BE=CE=4;AEBC,BE=CE=4;由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半知知DE=BD=3DE=BD=3，BDEBDE的周长是的周长是10.10.2.(20122.(2012宁波中考宁波中考)如图，如图，AEBDAEBD，C C是是BDBD上的点，且上的点，且AB=BCAB=BC，ACD=110ACD=110，则，则EAB=_EAB=_度度.【解析解析】ACD=110ACD=110,ACB=70,ACB=70.AB=BC,BAC=ACB=70AB=BC,BAC=ACB=70.AEBD,EAC=ACD=110AEBD,EAC=ACD=110,EAB=110EAB=110-70-70=40=40.答案：答案：40403.(20113.(2011乐平中考乐平中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，A A8080，E E，F F，P P分别是分别是ABAB，ACAC，BCBC边上一点，且边上一点，且BEBEBPBP，CPCPCFCF，则则EPFEPF_._.【解析解析】ABABACAC，A=80A=80，B BC C5050.又又BEBEBPBP，CPCPCFCF，BEPBEPBPEBPE，CPFCPFCFPCFP，由三角形内角和为由三角形内角和为180180，得得BPEBPE6565，CPF CPF 6565.BPEBPECPF+EPFCPF+EPF180180，EPF EPF 180180656565655050.答案：答案：50504.(20114.(2011沈阳中考沈阳中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D为为BCBC边上一点，边上一点，B=30B=30，DAB=45.DAB=45.(1)(1)求求DACDAC的度数；的度数；(2)(2)求证：求证：DC=AB.DC=AB.【解析解析】(1)AB=AC(1)AB=AC，B=C=30B=C=30.CCBACBACB=180B=180，BAC=180BAC=18030303030=120=120.DAB=45DAB=45，DAC=BACDAC=BACDAB=120DAB=1204545=75=75.(2)DAB=45(2)DAB=45，ADC=BADC=BDAB=75DAB=75.DAC=ADC,DC=ACDAC=ADC,DC=AC，DC=AB.DC=AB.等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛1.1.等边三角形具有等腰三角形的所有性质，同时还具有等边三角形具有等腰三角形的所有性质，同时还具有自己独特的性质：三条边相等，三个角都等于自己独特的性质：三条边相等，三个角都等于6060，有，有三条对称轴三条对称轴.2.2.有关等边三角形的计算：当一个等边三角形的边长为有关等边三角形的计算：当一个等边三角形的边长为a a时，时，(1)(1)它的面积为它的面积为 ；(2)(2)一边上的高为一边上的高为 ；(3)(3)外接圆半径为外接圆半径为 ，内切圆半径为，内切圆半径为 .特特别别提提醒醒等边三角形常转化为有一个角为等边三角形常转化为有一个角为3030的直角三角形的直角三角形.【例例2 2】(2012(2012湘潭中考湘潭中考)如图，如图，ABCABC是边长为是边长为3 3的等边三角形，的等边三角形，将将ABCABC沿直线沿直线BCBC向右平移向右平移,使使B B点与点与C C点重合，得到点重合，得到DCEDCE，连接，连接BDBD，交，交ACAC于于F.F.(1)(1)猜想猜想ACAC与与BDBD的位置关系，并证明你的结论；的位置关系，并证明你的结论；(2)(2)求线段求线段BDBD的长的长.【思路点拨思路点拨】(1)(1)【自主解答自主解答】(1)ACBD.(1)ACBD.DCEDCE由边长为由边长为3 3的等边的等边AB