浙江省宁波市华光学校高二数学理上学期期末试卷含解析

浙江省宁波市华光学校高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 按右下图所表示的算法，若输入的是一个小于50的数，则输出的是（  ） A．2005      B.65      C.64      D.63   参考答案： D 2. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（    ） A．假设三内角都不大于60度            B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至少有一个大于60度   D．假设三内角至多有二个大于60度   参考答案： B 略 3. 已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为（    ） A．24           B．26            C．27             D．28 参考答案： B 4. 设集合，则A∩B=（   ） A．         B．       C．       D． 参考答案： A 5. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为(      ) A．   B．4    C．    D．6 参考答案： C 6. 己知数列{an}满足递推关系：，，则（    ）． A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 an+1=，a1=，可得1．再利用等差数列的通项公式即可得出． 【详解】∵an+1=，a1=，∴1． ∴数列是等差数列，首项为2，公差为1． ∴2+2016＝2018． 则a2017． 故选：C． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7. （算法）下图是一个求和的程序框图，如果其中判断框内填入的条件是：？，那么输出S=（    ） A．     B．    C．    D． 参考答案： B 略 8. 设，，，那么（    ） A.         B.          C.         D. 参考答案： D 略 9. 对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（　　） A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25 参考答案： B 【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数． 【分析】根据频率分布直方图，结合众数和中位数的定义进行求解即可． 【解答】解：由频率分布直方图可知，数据在[2，2.5]之间的面积最大，此时众数集中在[2，2.5]内，用区间.2的中点值来表示，∴众数为2.25． 第一组的频率为0.08×0.5=0.05，对应的频数为0.05×100=5， 第二组的频率为0.16×0.5=0.08，对应的频数为0.08×100=8， 第三组的频率为0.30×0.5=0.15，对应的频数为0.15×100=15， 第四组的频率为0.44×0.5=0.22，对应的频数为0.22×100=22， 第五组的频率为0.50×0.5=0.25，对应的频数为0.25×100=25， 前四组的频数之和为5+8+15+22=50， ∴中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据，则对应的中位数在5组内且比2大一点， 故2.02比较适合， 故选：B． 10. 设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑． 【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行， ∴a2=1， 解得a=±1， 当a=1时，两直线方程分别为x+y﹣1=0与直x+y+5=0，满足两直线平行． 当两直线方程分别为﹣x+y﹣1=0与直x﹣y+5=0满足平行，a=1或a=﹣1， ∴“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件． 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的条件是解决本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是         ．（用区间表示） 参考答案： 12. 已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y=kx +1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是__________ 参考答案： 略 13. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为         辆。 参考答案： 38 14. 已知直线与平面区域C:的边界交于A，B两点，若，则的取值范围是    . 参考答案： 15. 已知直线l：x-y-m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则m=________，|AB|=________. 参考答案： 2  16 16. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是       ． 参考答案： 27万元 【考点】简单线性规划的应用． 【专题】综合题． 【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可． 【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨， 则该企业可获得利润为z=5x+3y， 且， 联立， 解得 x=3 y=4， 由图可知，最优解为P（3，4）， ∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）． 故答案为：27万元． 【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中． 17. 已知球O的半径为2，则球O的表面积为___▲__. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程为，曲线C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求直线l的参数方程和极坐标方程； (Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值. 参考答案： (Ⅰ) 直线的参数方程为(为参数) 极坐标方程为() (Ⅱ)5 【分析】 (Ⅰ) 直线的普通方程为，可以确定直线过原点，且倾斜角为，这样可以直接写出参数方程和极坐标方程； (Ⅱ)利用，把曲线的参数方程化为普通方程，然后把直线的参数方程代入曲线的普通方程中，利用根与系数的关系和参数的意义，可以求出的值. 【详解】解:(Ⅰ)直线的参数方程为(为参数) 极坐标方程为() (Ⅱ)曲线的普通方程为 将直线的参数方程代入曲线中，得， 设点对应的参数分别是，则， 【点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程和极坐标方程问题，同时也考查了直线与圆的位置关系，以及直线参数方程的几何意义. 19. 已知函数（x∈R）． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质；解三角形． 【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=．由，可得单调递增区间． （2）由得．又，则可求得，由AB=AD可求得：AD+DC=BD+DC=BC，又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC．由，可得．故可得周长最大值． 【解答】解：（1）===． 由，得（k∈Z）． ∴单调递增区间为，k∈Z （2）由得．又，则， 从而， ∴． 由AB=AD知△ABD是正三角形，AB=AD=BD， ∴AD+DC=BD+DC=BC， 在△ABC中，由正弦定理，得，即BC=8sin∠BAC． ∵D是BC边上一点， ∴， ∴，知． 当时，AD+CD取得最大值8，周长最大值为． 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，综合性较强，属于中档题． 20. （本小题满分14分）用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． 参考答案： 解：设该容器底面矩形的短边长为m，则另一边长为m， 此容器的高为，       ……………4分 于是，此容器的容积为：，   ……………6分 其中，                                 …………8分 即，得，（舍去）， ………10分 因为，在内只有一个极值点，且时，，函数递增； 时，，函数递减；           …………12分 所以，当时，函数有最大值， 即当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，最大容积为．…14分 略 21. 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和． （I）求的取值范围； （II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由． 参考答案： 解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为， 代入椭圆方程得． 整理得　　　① 直线与椭圆有两个不同的交点和等价于， 解得或．即的取值范围为． （Ⅱ）设，则， 由方程①，．　　　② 又．　　　　③ 而． 所以与共线等价于， 将②③代入上式，解得． 由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数 略 22. 设数列中， （1）求数列的通项公式 （2）令，求数列的前项和 参考答案： 解：（1）                         ……             以上各式相加得： ∴………………………6分 （2）   两式相减得             ∴………………………………………6分