0303环流与旋度和格林定理环流与旋度和格林定理与亥姆霍兹定理与亥姆霍兹定理11.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场例如：流速场 不是所有的矢量场都由通量源激发存在另一类不同于通不是所有的矢量场都由通量源激发存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中闭合路径的积何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零分不为零2 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即流成正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系上式建立了磁场的环流与电流的关系 3q如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即q如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。
电流是电流是磁场的旋涡源磁场的旋涡源4 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入宏观联系为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度矢量场的旋度 2. 矢量场的旋度矢量场的旋度（ ） （1）环流面密度）环流面密度称为称为矢量场在矢量场在点点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度特点特点：其值：其值与与点点M 处的方向处的方向 有关 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则当与曲线的绕向成右手螺旋法则当 S0 时，极限时，极限5而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示oyDz DyCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式6于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流点的环流 面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元 的法线方向，即的法线方向，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。
旋涡源密度矢量性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度7旋度的计算公式旋度的计算公式: : 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系8旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零93. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用广泛的应用 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即104. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 111. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度； 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。
或正比于）矢量场在该点的旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场122. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场线积分与路径无关，是保守场仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场13（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场14（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分151.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念概念： 拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系计计算公式算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系16 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念概念：即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：172. 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场导数，那么，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式：满足下列等式： 根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。
式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面， 为为标量场标量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 方向方向上的偏导数上的偏导数18基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理 格格林林定定理理说说明明了了区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系因因此此，利利用用格格林林定定理理可可以以将将区区域域中中场场的的求求解解问问题题转转变变为为边边界界上上场的求解问题场的求解问题 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系因此，此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 格林定理广泛地用于电磁理论格林定理广泛地用于电磁理论19亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理: : 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为表示为 式中：式中： 亥姆霍兹定理表明：在无界空间区亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。
域，矢量场可由其散度及旋度确定1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理20 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。