《2021-2022学年吉林省长春十一中高考数学四模试卷含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021-2022学年吉林省长春十一中高考数学四模试卷含解析(22页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年高考数学模拟试卷考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1阿基米德(公元前287年公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家,他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说,他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体
2、积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论,要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则该球的体积为 ( )ABCD2如图,平面与平面相交于,点,点,则下列叙述错误的是( )A直线与异面B过只有唯一平面与平行C过点只能作唯一平面与垂直D过一定能作一平面与垂直3在等差数列中,若(),则数列的最大值是( )ABC1D34已知且,函数,若,则( )A2BCD5如图,内接于圆,是圆的直径,则三棱锥体积的最大值为( )ABCD6如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的
3、是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )ABCD7如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中左视图中三角形为等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是( )ABCD8已知直线y=k(x+1)(k0)与抛物线C相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则|FA| =( )A1B2C3D49曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为( )A3B2CD110一个频率分布表(样本容量为)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在上的频率为,则估计样本在、内的数据个数共有( )ABCD11已知纯虚数满足,其中为虚数单位,则实数等于( )AB1CD212如图,圆是边
4、长为的等边三角形的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点,则的最大值为( )ABC2D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13点是曲线()图象上的一个定点,过点的切线方程为,则实数k的值为_.14已知函数,若方程的解为,(),则_;_15设数列的前项和为,且对任意正整数,都有,则_16如图,某市一学校位于该市火车站北偏东方向,且,已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧都是学校道路,其中,以学校为圆心,半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济,其中分别在公路上,且与圆弧相切,设,的面积为.(1)求关于的函数解析式;(2)当为何值时,面积
5、为最小,政府投资最低?三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知抛物线和圆,倾斜角为45的直线过抛物线的焦点,且与圆相切(1)求的值;(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设求证点在定直线上,并求该定直线的方程18(12分)如图所示,四棱锥PABCD中,PC底面ABCD,PCCD2,E为AB的中点,底面四边形ABCD满足ADCDCB90,AD1,BC1()求证:平面PDE平面PAC;()求直线PC与平面PDE所成角的正弦值;()求二面角DPEB的余弦值19(12分)设的内角、的对边长分别为、.设为的面积,满足.(1)求;(2)若,求
6、的最大值.20(12分)已知函数.(1)当时,解不等式;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.21(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,()求的大小;()若,求面积的最大值22(10分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为 (为参数),直线与曲线分别交于两点(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若点的极坐标为,求的值参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1C【解析】设球的半径为R,根据组合体的关系,圆柱的表面积为,解
7、得球的半径,再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R,根据题意圆柱的表面积为,解得,所以该球的体积为 .故选:C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积,还考查了对数学史了解,属于基础题.2D【解析】根据异面直线的判定定理、定义和性质,结合线面垂直的关系,对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面,则A,D,B,C共面,则AB,CD共面,与,矛盾, 故正确.B. 根据异面直线的性质知,过只有唯一平面与平行,故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知,故正确.D. 根据异面直线的性质知,过不一定能作一平面与垂直,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查异面直线的定义,性质以及
8、线面关系,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.3D【解析】在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时, 取最大即可求得结果.【详解】因为,所以,即,又,所以公差,所以,即,因为函数,在时,单调递减,且;在时,单调递减,且.所以数列的最大值是,且,所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.4C【解析】根据分段函数的解析式,知当时,且,由于,则,即可求出.【详解】由题意知:当时,且由于,则可知:,则,则,则.即.故选:C.【点睛】本题考查分段函数的应用,由分段函数解析式求自变量.
9、5B【解析】根据已知证明平面,只要设,则,从而可得体积,利用基本不等式可得最大值【详解】因为,所以四边形为平行四边形.又因为平面,平面,所以平面,所以平面.在直角三角形中,设,则,所以,所以.又因为,当且仅当,即时等号成立,所以.故选:B【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值解题方法是:首先证明线面垂直同,得棱锥的高,然后设出底面三角形一边长为,用建立体积与边长的函数关系,由基本不等式得最值,或由函数的性质得最值6C【解析】根据三视图还原为几何体,结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知,该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体,其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体的底面四
10、边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积,故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原成几何体是求解关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.7C【解析】作出三视图所表示几何体的直观图,可得直观图为直三棱柱,并且底面为等腰直角三角形,即可求得外接球的半径,即可得外接球的体积.【详解】如图为几何体的直观图,上下底面为腰长为的等腰直角三角形,三棱柱的高为4,其外接球半径为,所以体积为.故选:C【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意球心的确定.8C【解析】方法一:设,利用抛物线的定义判断出是的中点,结合等腰三角形
11、的性质求得点的横坐标,根据抛物线的定义求得,进而求得.方法二:设出两点的横坐标,由抛物线的定义,结合求得的关系式,联立直线的方程和抛物线方程,写出韦达定理,由此求得,进而求得.【详解】方法一:由题意得抛物线的准线方程为,直线恒过定点,过分别作于,于,连接,由,则,所以点为的中点,又点是的中点,则,所以,又所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为,所以,所以方法二:抛物线的准线方程为,直线由题意设两点横坐标分别为,则由抛物线定义得又 由得.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查直线和抛物线的位置关系,属于中档题.9A【解析】根据题意,求导后结合基本不等式,即可求出切线斜率,即可得出答案.
12、【详解】解:由于,根据导数的几何意义得:,即切线斜率,当且仅当等号成立,所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.故选:A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值,考查计算能力.10B【解析】计算出样本在的数据个数,再减去样本在的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知,样本在的数据个数为,样本在的数据个数为,因此,样本在、内的数据个数为.故选:B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数,要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系,考查计算能力,属于基础题.11B【解析】先根据复数的除法表示出,然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.【详解】因为,所以,又因为是纯虚数,所以,所
13、以.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值,难度较易.若复数为纯虚数,则有.12C【解析】建立坐标系,写出相应的点坐标,得到的表达式,进而得到最大值.【详解】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心,1为半径的圆;根据三角形面积公式得到,可得到内切圆的半径为 可得到点的坐标为: 故得到 故得到 , 故最大值为:2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用,以及参数方程的应用,以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解
14、不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。131【解析】求出导函数,由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标,再由切线方程得纵坐标后可求得【详解】设,由题意,即,故答案为:1【点睛】本题考查导数的几何意义,函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值本题属于基础题14 【解析】求出在 上的对称轴,依据对称性可得的值;由可得,依据可求出的值.【详解】解:令,解得 因为,所以 关于 对称.则.由,则由可知,又因为 ,所以,则,即故答案为: ;.【点睛】本题考查了三角函数的对称轴,考查了诱导公式,考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的取值范围,导致求出.在求的对称轴时,常用整体代入法,即令 进行求解.15【解析】利用行列式定义,得到与的关系,赋值,即可求出结果。【详解】由,