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1、一、不定积分的概念一、不定积分的概念二、不定积分的性质基本积分公式二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法三、换元积分法 第一节第一节 不定积分不定积分第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学一、不定积分的概念一、不定积分的概念 定义定义3-1 若在某区间上若在某区间上 , ,则称则称 为为 在该区间上的一个在该区间上的一个原函数原函数例例 （ 为任意常数）为任意常数）分析分析（2）若）若 和和 都是都是 的原函数的原函数,则则（ 为任意常数）为任意常数）结论结论（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，都有都有（3） 为为 原函数的全体原函数的全体问题问题 (1) 原函数是否
2、唯一？原函数是否唯一？(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？(3) 原函数的全体如何表示原函数的全体如何表示? 任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式 定义定义3-2 若函数若函数 是是 的一个原函数的一个原函数, 则则 原函数的全体原函数的全体 称为的称为的不定积分不定积分. 记为记为 . 积积分分变变量量 由此可知由此可知, 求求 不定积分只需求出不定积分只需求出 一个原函数一个原函数, 再加上任意常数再加上任意常数 .例例3-1：求经过点求经过点 (1, 3)，且其切线的斜率为，且其切线的斜率为 3x2 的曲线方程的曲线方程解：因为解：
3、因为 (x3) =3x2 3x2dx=x3+C 得曲线族得曲线族 y=x3+C将将 x =1, y=3 代入得代入得 C=2,故所求曲线为故所求曲线为: y =x3+2不定积分的几何意义不定积分的几何意义 是积分曲线上、是积分曲线上、下平移所得到一族下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线，称为积积分曲线族分曲线族在点处有相同在点处有相同的斜率，即这的斜率，即这些切线互相平行些切线互相平行二、不定积分的性质和基本积分公式二、不定积分的性质和基本积分公式 或或性质性质3-1或或性质性质3-2性质性质3-3性质性质3-4基本积分公式基本积分公式 (3)(4)例例3-2 求求解解例3-3: 求解解:例
4、例3-43-4（1 1）求求解解例例3-43-4（2 2）求求解解 (4)例例3-4（3）求求解解 例例 求求解解 但是但是解决方法解决方法 利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量. 问题的提出三、换元积分法三、换元积分法 因为因为第一类换元法第一类换元法(凑微分法凑微分法)注意注意 使用此公式的关键在于使用此公式的关键在于定理定理3-13-1则有换元公式则有换元公式证明证明解解例例3-53-5（1 1）求求例例3-53-5（2 2）求求解解对换元积分比较熟练以后对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量不必写出中间变量例例3-63-6 求求解解例例 求求解解例例 求求解解例例3-
5、73-7 求求解解同理可得同理可得例例3-83-8 求求解解例3-9： sin2x cos3x dx= sin2x cos2x d(sinx)= sin2x(1-sin2x)dsinx=1/3sin3x-1/5sin5x+C例3-10： sin2xdx= (1-cos2x)/2dx =x/2-sin2x/4+C例3-11 sin6xcos2xdx = 1/2(sin8x+sin4x)dx =-1/16cos8x-1/8cos4x+C解法解法1例例3-123-12 求求解法解法2解法解法3凑微分常见的类型凑微分常见的类型第一类换元法是通过变量替换第一类换元法是通过变量替换 将积分将积分 第二类换
6、元法是通过变量第二类换元法是通过变量 将积分将积分2第二类换元法第二类换元法设设 单调、可导，且，单调、可导，且， 则有则有例例3-133-13 求求解解 令令 对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称换去掉根式后再积分，也称根式代换根式代换.例例3-143-14 求求解解 令令 若被积函数中含有若被积函数中含有 时时, 可采可采用三角替换的方法化去根式用三角替换的方法化去根式, 这种方法称为这种方法称为三角代三角代换换.三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律可令可令可令可令可令可令解解 设设例例3-153-15 求求解解 令令例例3-163-16 求求解解 令令例例3-173-17 求求例3-18：求求解解:令令 x =1/u解解 令令例例3-193-19 求求作业：作业：P79，习题三，习题三，1-2
