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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑计量经济学习题与解答4 1 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型 一、内容提要 本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其根本的建模思想与建模方法与一元的情形一致。主要内容依旧包括模型的根本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预料方面的应用等方面。只不过为了多元建模的需要，在根本假设方面以及检验方面有所扩展。 本章仍重点介绍了多元线性回归模型的根本假设、估计方法以及检验程序。与一元回归分析相比，多元回归分析的根本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验片面，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否
2、对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并议论了F检验与拟合优度检验的内在联系。 本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。这里需要留神各回归参数的概括经济含义。 本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或裁减解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预料检验两种类型的检验。检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。参数的非线性约束
3、检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。它们仍以估计无约束模型与受约束模型为根基，但以最大似然原理举行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的?分布为检验统计量的分布特征。非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中屡屡使用。 2二、典型例题分析 例1某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教导的一个回归方程为 edu?10.36?0.094sibs?0.131medu?0.210fedu R2=0.214 式中，edu为劳动力受教导年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教导的年数。问 2 （1）si
4、bs是否具有预期的影响？为什么？若medu与fedu保持不变，为了使预料的受教导水平裁减一年，需要sibs增加多少？ （2）请对medu的系数赋予适当的解释。 （3）假设两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教导的年数为12年，另一个的父母受教导的年数为16年，那么两人受教导的年数预期相差多少？ 解答： （1）预期sibs对劳动者受教导的年数有影响。因此在收入及支出预算约束确定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子采纳教导的时间会越短。 根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs前的参数估计值-0.094说明，在其他条件不变的处境下，每增加1个兄弟姐妹，受教导年数会裁减0.094年，因此，要
5、裁减1年受教导的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。 （2）medu的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教导的年数保持不变时，母亲每增加1年受教导的机遇，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教导机遇。 （3）首先计算两人受教导的年数分别为 10.36+0.131?12+0.210?12=14.452 10.36+0.131?16+0.210?16=15.816 因此，两人的受教导年限的区别为15.816-14.452=1.364 例2以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结
6、果如下： Y?0.472?0.32log(X1)?0.05X2(1.37)(0.22)(0.046) R2?0.099其中括号中为系数估计值的标准差。 （1）解释log(X1)的系数。假设X1增加10%，估计Y会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？ （2）针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上举行这个检验。 （3）利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？ 解答： （1）log(x1)的系数说明在其他条件不变时，log(x1)变化1个单位，Y变化的单位数，即?Y=0.32?log(X1)?0.
7、32(?X1/X1)=0.32?100%，换言之，当企业销售X1增长100%时，企业研发支出占销售额的比重Y会增加0.32个百分点。由此，假设X1增加10%，Y会增加0.032个百分点。这在经济上不是一个较大的影响。 （2）针对备择假设H1：?1?0，检验原假设H0：?1?0。易知计算的t统计量的值为t=0.32/0.22=1.468。在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t 分布的临界值为1.699（单侧），计算的t值小于该临界值，所以不拒绝原假设。意味着R&D强度不随销售额的增加而变化。在10%的显著性水平下，t分布的临界值为1.311，计算的t 值小于该值，拒绝原假设，意味着R&
8、D强度随销售额的增加而增加。 （3）对X2，参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。 3 例3下表为有关经批准的私人住房单位及其抉择因素的4个模型的估计量和相关统计值（括号内为p-值）（假设某项为空，那么意味着模型中没有此变量）。数据为美国40个城市的数据。模型如下： housing?0?1density?2value?3income?4popchang?5unemp?6localtax?7statetax? 式中housing实际颁发的建筑许可证数量，density每平方英里的人口密度，value
9、自由房屋的均值（单位：百美元），income平均家庭的收入（单位：千美元），popchang19801992年的人口增长百分比，unemp失业率，localtax人均交纳的地方税，statetax人均缴纳的州税 变量 C Density Value Income Popchang Unemp Localtax Statetax RSS R2 模型A 813 (0.74) 0.075 (0.43) -0.855 (0.13) 110.41 (0.14) 26.77 (0.11) -76.55 (0.48) -0.061 (0.95) -1.006 (0.40) 4.763e+7 0.349 1.
10、488e+6 1.776e+6 模型B -392 (0.81) 0.062 (0.32) -0.873 (0.11) 133.03 (0.04) 29.19 (0.06) -1.004 (0.37) 4.843e+7 0.338 1.424e+6 1.634e+6 模型C -1279 (0.34) 0.042 (0.47) -0.994 (0.06) 125.71 (0.05) 29.41 (0.001) 4.962e+7 0.322 1.418e+6 1.593e+6 模型D -973 (0.44) -0.778 (0.07) 116.60 (0.06) 24.86 (0.08) 5.038
11、e+7 0.312 1.399e+6 1.538e+6 ?2 ?AIC （1）检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择p-值）。根据检验结果，你认为理应把变量留存在模型中还是去掉？ （2）在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：?i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计 算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或采纳零假设的标准。说明你的结论。 （3）哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。 （4）说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的”。说明你的预期符号并解释理由。确认 其是否为正确符号。 解答： （1）直接给出了P-值，所以没有必要计算t
12、-统计值以及查t分布表。根据题意，假设p-值0，事实上其估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期40，事实其估计值也是如此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数裁减，即我们预期3估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。出乎预料的是，地方税与州税为不显著的。由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。虽然模型A是这种处境，但它们的影响却分外微弱。 4、在经典线性模型根本假定下，对含有三个自变量的多元回归模型： Y?0?1X1?2X2?3X3? 你想检验的虚拟假设是H0：?1?2?2?1。 ?2?)。 ?,?的方差及其协方差求出Var
13、(? （1）用?1212 （2）写出检验H0：?1?2?2?1的t统计量。 （3）假设定义?1?2?2?，写出一个涉及?0、?、?2和?3的回归方程，以便能直接得到?估计值?及其标准误。 解答： （1）由数理统计学学识易知 ?2?)?Var(?)?4Cov(?,?)?4Var(?) Var(?121122 （2）由数理统计学学识易知 ?2?1?12?2?)为(?2?)的标准差。 ，其中se(?t?1212?2?)se(?12 （3）由?1?2?2?知?1?2?2，代入原模型得 Y?0?(?2?2)X1?2X2?3X3?0?X1?2(2X1?X2)?3X3? 这就是所需的模型，其中?估计值?及其
14、标准误都能通过对该模型举行估计得到。 5 三、习题 （一）根本学识类题型 3-1解释以下概念： 1) 多元线性回归 2) 虚变量 3) 正规方程组 4) 无偏性 5) 一致性 6) 参数估计量的置信区间 7) 被解释变量预料值的置信区间 8) 受约束回归 9) 无约束回归 10) 参数稳定性检验 3-2查看以下方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？ 1) Yi?0?1Xi3?i 2) Yi?0?1logXi?i 3) logYi?0?1logXi?i 4) Yi?0?1(?2Xi)?i 5) Yi?0?i ?1Xi?6) Yi?1?0(1?Xi1)?i 7) Yi?0?1X1i?2X2i10?i 3-3多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些识别？ 3-4为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？ 3-5多元线性回归模型的根本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些根本假设起了作用？ 3-6请说明区间估计的含义。 （二）根本证明与问答类题型 3-7什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型： yi?0?1x1i?2x2i?kxki?ui，i?1,2,?,n的正规方程组，及其推导过程。 9
