第四讲第四讲 微分中值定理微分中值定理1费马定理费马定理说明说明: 可微函数在极值点处有水平切线可微函数在极值点处有水平切线 设设 f (x)在在 x0点的某个邻域点的某个邻域 N(x0)内有定义内有定义, f (x0)是是 f (x) 的一个极值的一个极值, 如果如果 f (x)在在 x0 处可导处可导, 则有则有拉格朗日中值定理双介质问题设函数在a,b上连续，在(a,b)上可导，证明：在(a,b)内存在,使得设f(x)在a,b开区间连续闭区间可导，且ab均大于0，证明：必存在(a，b)使得f()= f()/2*(a+b)用两次拉格朗日中值定理先由拉格朗日中值定理得：f()=f(b)-f(a)/(b-a),(a,b)又由柯西中值定理有：f(b)-f(a)/(b2-a2)=f()/2,(a,b)即f(b)-f(a)/(b-a)=f()=f()/2(a+b),此即所证等式 , 试证明试证明:至少存在一点至少存在一点 , 使使例例1 设设 f (x)在在 0, 1 上连续上连续, 在在 (0,1) 内可导内可导 , f (0)=0 , f (1)=1, 解解因因 f (x) 在在 a, b上连续，由积分中值定理，上连续，由积分中值定理，存在存在 0,1 使使由由 f (0) = 0 , f (1) = 1 知知 f (x) 在在(0,1) 内取得内取得 f (x) 在在0,1 的最大值，的最大值， 即存在即存在 (0,1) , 使使 为极大值点，据费马定理为极大值点，据费马定理2罗尔定理罗尔定理:设设 f(x) 在在 a, b 上连续上连续, (a,b) 内可导内可导 , 则至少存在一点则至少存在一点 , 使使说明说明: 2) 罗尔定理涉及了方程根的问题罗尔定理涉及了方程根的问题1) 几何意义几何意义y0 x例例2 若若 f (x)在在 0, 1 上连续上连续, 在在 (0,1)内可导内可导, 且且 f (1)=0 , 则在则在 (0,1) 内存在点内存在点, 使使解解取辅助函数取辅助函数 ，则，则 F(x)在在 0, 1 上连续，上连续， 在在 (0,1)内可导，且内可导，且F(0) = F(1) = 0， 根据罗尔定理，根据罗尔定理，存在存在 (0,1) , 使使证明证明: 对任意的对任意的 0 , 存在存在 , 使使例例3 若若 f (x)在在 0, 1 上连续上连续, 在在(0,1)内可导内可导, 且且 f (1) =0, 解解取辅助函数取辅助函数 , 则则 F(x)在在 0, 1 上连续，上连续， 在在 (0,1)内可导，且内可导，且F(0) = F(1) = 0， 根据罗尔定理，根据罗尔定理，存在存在 (0,1) , 使使说明：说明：辅助函数导数可以和原方程相差一非零因子辅助函数导数可以和原方程相差一非零因子例例4 设设 f (x) 可导可导, 为任意实数为任意实数, 则则 f (x)的任意两个零的任意两个零点之间点之间, 必有必有 的零点的零点 解解 设设 x1 x2 是是 f (x) 的任意两个零点，要证：存在的任意两个零点，要证：存在 (x1, x2) 使使取辅助函数取辅助函数 , 则则 F(x)在在 x1 , x2 上连续，上连续， 在在 (x1, x2)内可导，且内可导，且F(x1) = F(x2) = 0， 根据罗尔定理，根据罗尔定理，存在存在 (x1, x2) 使使例例5 若若 f(x) 在在 a, b 上连续上连续, 在在(a,b)内可导内可导, 试证明试证明 :存在存在 , 使使解解原问题原问题 取辅助函数取辅助函数 ，则，则F(x)在在 a, b 上连续上连续, (a , b)内可导，且内可导，且F(a) = F(b) = 0， 据罗尔定理，据罗尔定理， (a, b) 使使即即例例6 设设 f (x)在在 0, 1 上连续上连续, 在在(0,1)内可导内可导, f(0)=0 , 证明证明: 在在(0 , 1)内至少存在一点内至少存在一点, 使得使得( k为正整数为正整数 )解解原等式原等式 将将换成换成 x , 得得积分得积分得据罗尔定理，据罗尔定理， (0, 1) 使使即即取辅助函数取辅助函数 , 则则F(x)在在 0, 1 上上连续连续, (0 , 1)内可导，且内可导，且F(0) = F(1) = 0， 例例7 设函数设函数 f (x) 在在 0, 1 上连续上连续, (0,1)内可导内可导, 且且, 证明证明: 在在(0 , 1) 内存在点内存在点, 使得使得(找等高点找等高点)解解利用积分中值定理，存在利用积分中值定理，存在 使使 又又 f (x) 在在 0, 上连续上连续, 在在(0, )内可导，据罗尔定理，内可导，据罗尔定理，存在存在 0, (0 , 1) 使使 例例8 设函数设函数 f (x)在闭区间在闭区间 0, 1 上连续上连续, (0,1)内可导内可导, 且且 , 证明证明: 在在(0,1)内至少存在一点内至少存在一点, 使得使得 , 其中其中 0 1.(找等高点找等高点)解解 原等式原等式 设设 ，则，则 F(0) = 0又又据零值定理，存在据零值定理，存在 使使 F( ) = 0 对对F(x) 在在0 , 上利用罗尔定理上利用罗尔定理 ,存在存在 (0, ) (0 , 1) 使使 例例9 证明证明: 方程方程 的根不超过三个的根不超过三个解解 反证法反证法.假设方程有四个实根假设方程有四个实根设设 ，则有，则有 在在 上分别利用罗尔定理上分别利用罗尔定理 在在 x1 , x4 上至少有三个零点上至少有三个零点 在在 x1 , x4 上至少有两个零点上至少有两个零点 在在 x1 , x4 上至少有一个零点上至少有一个零点 现现矛盾矛盾, 证明证明: 至少存在一点至少存在一点 , 使使 例例10 设设 f (x) 在在 1, 2 上有二阶导数上有二阶导数 , 且且 , 又又 解解 因为因为由于由于F (x) 在在1,2 上连续上连续, (1,2)内可导，且内可导，且据罗尔定理，存在据罗尔定理，存在 (1,2) 使使 在在1, 上上, 连续，可导，且连续，可导，且 利用罗尔定理，存在利用罗尔定理，存在 (1,(1, ) ) (1,2)(1,2)使使3拉格朗日柯西中值定理拉格朗日柯西中值定理(1) 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理设函数设函数 f (x)在在 a , b 上连续上连续, (a , b)内可导内可导 , 则至少至少存在一点则至少至少存在一点 (a , b ) 使使说明说明:1) 上式可以写成上式可以写成: 或者或者或者或者2) 几何意义几何意义(2) 柯西中值定理柯西中值定理设函数设函数 f (x) , g(x) 在在 a , b 上连续上连续, (a , b)内可导内可导 ,且且则至少存在一点则至少存在一点 (a , b ) 使使说明说明:几何意义几何意义: AB弦的斜率弦的斜率切线的斜率切线的斜率(3) 应用举例应用举例 1) 等式的证明等式的证明证明证明: 对于满足对于满足 + =1 的正数的正数 , , 在在 (0 , 1) 内存在内存在 设设 f (x) 在在 0 , 1 上可导上可导 , 且且 f (0) =0 , f (1) =1 ,例例11相异两点相异两点 , , 使使解解利用拉格朗日中值定理得利用拉格朗日中值定理得两式相加得两式相加得且且 f (0) = 0 , f (1) =1 , 证明证明:已知已知 f (x) 在在 0 , 1 上连续上连续 , 在在 (0 , 1) 内可导内可导 , 例例12(1) 存在存在 (0 , 1) , 使使(2) 存在两个不同的点存在两个不同的点 , 使得使得解解（1） 原等式原等式 设设 F(x) = f (x) + x 1, 则则 F(x)在在0,1 上连续，上连续，(0,1)内内可导，可导，且且F(0) = 1 0 据零值定理，存在据零值定理，存在 (0,1) 使使 F() = 0 (2) 由于由于例例13 证明证明:存在存在 (a , b ) , ( 0a 0(2) 在在 ( a , b ) 内存在点内存在点, 使使 (3) 在在 ( a , b ) 内存在与内存在与 (2) 中中 不同的点不同的点 , 使使 解解 (1) 因为因为 存在存在由由 f (x)在在a,b上连续上连续又因又因 f (x) 在在a,b上单调增，故有上单调增，故有 (2) 根据等式，设根据等式，设在在a,b上利用柯西中值定理，存在上利用柯西中值定理，存在 (a,b) 使使 (3) 原等式原等式 由结论由结论(2) ,有有利用拉格朗日中值定理，存在利用拉格朗日中值定理，存在 (a,) 使使所以有所以有2) 不等式的证明不等式的证明例例15 证明不等式证明不等式:解解 设设 , 在在 上利用拉格朗日中值定理上利用拉格朗日中值定理存在存在 使使设设 f (x) 与与 g(x) 都是可微函数都是可微函数 , 当当 x a 时时 ,例例16 证明证明: 当当 x a 时时 解解 当当 x = a 时，不等式成立时，不等式成立 . 下设下设 x a由由 g(x) 单调增单调增 g(x) g(a) 0, x a 利用柯西中值定理。
存在利用柯西中值定理存在 (a , x) ,使使4泰勒公式泰勒公式(1) 定理定理 (带拉格朗日型余项的泰勒公式带拉格朗日型余项的泰勒公式)设函数设函数 f (x) 在在 a , b 上连续上连续, (a , b)内有直到内有直到 存在一点存在一点 介于介于 x0 与与 x 之间之间 , 使使n+1导数导数 , 是任意两点是任意两点 ,则至少则至少说明说明:1) 如果泰勒公式中的如果泰勒公式中的 x0=0, 则称该公式则称该公式为为麦克劳林公式麦克劳林公式 2) 具有拉格朗日余项的具有拉格朗日余项的 0 阶泰勒公式就是拉格朗阶泰勒公式就是拉格朗日中值公式日中值公式 (2) 定理定理(带皮亚诺余项的泰勒公式带皮亚诺余项的泰勒公式)设设 f (x) 在在 x0 处具有处具有 n 阶导数阶导数 , 则存在则存在 x0 点的点的邻域邻域 N(x0) , 在此邻域内有在此邻域内有说明说明: 带皮亚诺型余项的泰勒公式的表达形式带皮亚诺型余项的泰勒公式的表达形式 是唯一的是唯一的 成立成立 , 则必有则必有即若有即若有(3) 常用的几个泰勒公式常用的几个泰勒公式说明说明:带拉格朗日型余项的泰勒公式只需将以上公式带拉格朗日型余项的泰勒公式只需将以上公式中的皮亚诺型余项改变为拉格朗日型余项即可中的皮亚诺型余项改变为拉格朗日型余项即可(4) 应用举例应用举例1) 函数的泰勒展开函数的泰勒展开例例17 求函数求函数 的的 2n 阶带皮亚诺型的阶带皮亚诺型的麦克劳林公式麦克劳林公式 解解 因为因为 ，且，且在式中令在式中令 x = 2x 有有 2) 利用泰勒公式计算极限利用泰勒公式计算极限求极求极 限限例例18解解原极限原极限 3) 利用泰勒公式证明等式利用泰勒公式证明等式例例19 设函数设函数 f (x)在在 -1 , 1 上连续上连续, (-1, 1) 内二阶内二阶存在一点存在一点 (-1, 1) , 使使连续可导连续可导 , 且且试证明试证明:至少至少解解 利用泰勒公式，有利用泰勒公式，有由由 在在 上连续，利用介值定理上连续，利用介值定理, 存在存在使使4) 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式f (0)=3 , 试证明试证明: 存在存在 设设 f (x)在在 0, 2 上连续上连续 , (0, 2) 内三阶导数内三阶导数, 且且 (0, 2) , 使使例例20解解 由由 x = 1 是极大值点是极大值点其中其中两式相减得两式相减得例例21 设设 f (x) 在在 x0 点的某邻域内存在四阶导数点的某邻域内存在四阶导数 , 且且 又又 x1= x0h , x2 = x0 + h (h0) 是该是该邻域内的两点邻域内的两点 , 证明证明:解解 将将 f (x1), f (x2) 分别在分别在 x0 点处泰勒。