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1、1 一元二次方程根的分布一知识要点二次方程02cbxax的根从几何意义上来说就是抛物线cbxaxy2与x轴交点的横坐标,所以研究方程02cbxax的实根的情况,可从cbxaxy2的图象上进行研究若在),(内研究方程02cbxax的实根情况, 只需考察函数cbxaxy2与x轴交点个数及交点横坐标的符号,根据判别式以及韦达定理,由cbxaxy2的系数可判断出2121,xxxx的符号,从而判断出实根的情况若在区间),(nm内研究二次方程02cbxax,则需由二次函数图象与区间关系来确定表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0 120,0 xx两个正根即两根都大于
2、0 120,0 xx一正根一负根即一个根小于0,一个大于0120 xx大致图象(0a)得出的结论00200baf00200baf00f大致图象(0a)得出的结论00200baf00200baf00f综合结论(不讨论a)00200baa f00200baaf00fa名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 2 表二: (两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个
3、根小于k,一个大于k即21xkx大致图象(0a)得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象(0a)得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论(不讨论a)020bkaa fk020bkaa fk0kfakkk名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 3 表三: (根在区间上的分布)分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内(图象有两种情况,只画了一种)一根在nm,内,另一
4、根在qp,内,qpnm大致图象(0a)得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmf nfpf q或00fmfnfpfq大致图象(0a)得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmf nfpf q或00fmfnfpfq综合结论(不讨论a)0nfmf00qfpfnfmf名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 4 根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间nm,外,即在区间两侧12
5、,xm xn, (图形分别如下)需满足的条件是(1)0a时,00fmfn;(2)0a时,00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况:1若0f m或0fn,则此时0fmfn不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间nm,内,从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根,因为10f,所以22212mxmxxmx,另一根为2m,由213m得223m即为所求;2方程有且只有一根,且这个根在区间nm,内,即0,此时由0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否
6、在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如 方 程24260 xmxm有 且 一 根 在 区 间3,0内 , 求m的 取 值 范 围 。 分 析 : 由300ff即141530mm得出15314m; 由0即2164 260mm得出1m或32m, 当1m时,根23,0 x, 即1m满足题意; 当32m时, 根33,0 x,故32m不满足题意;综上分析,得出15314m或1m名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 6 页 - - - - - - -
7、 - - 5 二例题选讲( 1)两个根在实数k的同一侧例 1已知方程)(0)32()1(242Rmmxmx有两个负根,求m的取值范围( 2)两个根在实数k的异侧例 2:求实数m的范围,使关于x的方程062) 1(22mxmx()有两个实根,且一个比大,一个比小()有两个实根,,且满足410()至少有一个正根( 3)在区间),(nm有且只有一个实根例 3:已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围 . ( 4)在区间),(nm有两个实根例 4:已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根
8、都属于( -3, 3) ,且其中至少有一个根小于1,求 m 的取值范围( 5)在区间,nm有实根例 5已知a是实数,函数2( )223f xaxxa,如果函数( )yf x在区间11 ,上有零点,求a的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 6 三巩固练习1已知二次方程04)32()13(2mxmxm有且只有一个实根属于( -1, 1),求 m 的取值范围2已知二次方程0)1(2)12(2mmxxm有且只有一个实根属于(1,2) ,且2, 1 xx都不是方程的根,求m的取值范围3已知二次方程0) 1()43() 1(2mxmxm的两个根都属于( 1,1) ,求m的取值范围4若关于x 的方程 x2+(a-1)x+1=0 有两相异实根,且两根均在区间0,2上,求实数a 的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -