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1、1 一元二次方程根的分布一知识要点二次方程02cbxax的根从几何意义上来说就是抛物线cbxaxy2与x轴交点的横坐标，所以研究方程02cbxax的实根的情况，可从cbxaxy2的图象上进行研究若在),(内研究方程02cbxax的实根情况， 只需考察函数cbxaxy2与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由cbxaxy2的系数可判断出2121,xxxx的符号，从而判断出实根的情况若在区间),(nm内研究二次方程02cbxax，则需由二次函数图象与区间关系来确定表一： （两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 120,0 xx两个正根即两根都大于
2、0 120,0 xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120 xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f综合结论（不讨论a）00200baa f00200baaf00fa名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 表二： （两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个
3、根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaa fk020bkaa fk0kfakkk名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 表三： （根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一
4、根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmf nfpf q或00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmf nfpf q或00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）0nfmf00qfpfnfmf名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12
5、,xm xn， （图形分别如下）需满足的条件是（1）0a时，00fmfn；（2）0a时，00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：1若0f m或0fn，则此时0fmfn不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m得223m即为所求；2方程有且只有一根，且这个根在区间nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否
6、在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如 方 程24260 xmxm有 且 一 根 在 区 间3,0内 ， 求m的 取 值 范 围 。 分 析 ： 由300ff即141530mm得出15314m； 由0即2164 260mm得出1m或32m， 当1m时，根23,0 x， 即1m满足题意； 当32m时， 根33,0 x，故32m不满足题意；综上分析，得出15314m或1m名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - -
7、 - - 5 二例题选讲（ 1）两个根在实数k的同一侧例 1已知方程)(0)32()1(242Rmmxmx有两个负根，求m的取值范围（ 2）两个根在实数k的异侧例 2：求实数m的范围，使关于x的方程062) 1(22mxmx（）有两个实根，且一个比大，一个比小（）有两个实根,，且满足410（）至少有一个正根（ 3）在区间),(nm有且只有一个实根例 3：已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围 . （ 4）在区间),(nm有两个实根例 4：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0 的两个根
8、都属于( -3, 3) ，且其中至少有一个根小于1，求 m 的取值范围（ 5）在区间,nm有实根例 5已知a是实数，函数2( )223f xaxxa，如果函数( )yf x在区间11 ，上有零点，求a的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 三巩固练习1已知二次方程04)32()13(2mxmxm有且只有一个实根属于( -1, 1)，求 m 的取值范围2已知二次方程0)1(2)12(2mmxxm有且只有一个实根属于（1，2） ，且2, 1 xx都不是方程的根，求m的取值范围3已知二次方程0) 1()43() 1(2mxmxm的两个根都属于（ 1，1） ，求m的取值范围4若关于x 的方程 x2+(a-1)x+1=0 有两相异实根，且两根均在区间0,2上，求实数a 的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
