投篮最佳角度问题 篮球运动员在中距离投篮时投篮角度应在什么范围内才使投射命中率最高（理想状态下）.再对具体的一组数据进行结果分析.理想状态是指忽略空气阻力、忽略投篮时他人的干扰、投篮的运动曲线与篮圈中心在同一平面内等. 应用背景体育 相关知识点知识点一：定积分的几何应用 知识点二：函数的单调性 知识点三：函数的极值 解题方法 先通过几何图形及抛射体运动轨迹方程将问题转化为求某一阴影部分面积关于角度的最大值，又由于问题范围的限制再通过对初速度的讨论并利用函数的单调性、极值知识求得该问题的解. 解题过程第一步： 建立坐标系，并设P1P2为篮圈横截面，篮圈高为H0，半径为R，投篮出手点到篮圈中心水平距离为S0，投篮出手高度为h0,如图所示. 求最佳投射角度的问题可转化为求一个角度使由弧OP1,OP2及直线P1P2所围图形面积 为最大. 解题过程第二步： 由动力学知以初速为v（方向与x轴成角）投射物的运动轨迹方程为， 消去t后得直角坐标下的表示式 （1） 设OP1弧的方程为 解题过程即满足初速v1为且与x轴成角，又由于弧OP1过点 ，代入后得故得弧OP1方程为同理可得弧OP2方程为解题过程第三步： 求面积解题过程第四步： 从A()的表达式可知，当tan 越大（ 90o），则A()越大.而实际上， tan 只可能在某一范围内变化，故应求出tan 的变化范围，从第二步的分析中得知, tan 与初速v有关，故设法通过它们的关系求出的tan 变化范围. 回到运动方程（1）即 ,设它过点 ，代入（1）并整理得 解题过程这是关于tan 的一元二次方程，为使问题的讨论有结果，取其一个较小的根其中v2应满足 解得 或 （舍）. 解题过程又因为所以tan 是v2的严格单调减函数.由于，所以 解题过程第五步：由此可得可见0(S)是的单调减函数，所以及 解题过程故投射角应控制在以下范围:及 它与 的具体数值有关. 解题过程第六步： 现设 代入第五步讨论所得投射角范围进行计算，得计算结果为此时应以约45o角投射命中率最高. 。