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1、2014年江苏数学试题数学试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl， 其中c是圆柱底面的周长,l为母线长.圆柱的体积公式：V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高。一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知集合，则【答案】2已知复数（i为虚数单位），则z的实部为【答案】213右图是一个算法流程图，则输出的n的值是【答案】54从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是【答案】5已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是【答案】6为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位:cm），所得
2、数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm【答案】247在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是【答案】48设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等,且，则的值是【答案】9在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为【答案】10已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是【答案】11在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行,则的值是【答案】12如图,在平行四边形ABCD中，已知，则的值是【答案】2213已知是定义在R上且周期为3的函数，当时,若函数在区间上有10个零点
3、（互不相同），则实数a的取值范围是【答案】14若的内角满足,则的最小值是【答案】二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本小题满分14 分)已知，（1）求的值;（2)求的值【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解能 力。 满分14分。(1），；（2)16（本小题满分14 分）如图，在三棱锥中，分别为棱的中点已知（1）求证:直线PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分
4、14分。（1）为中点 DEPA平面DEF,DE平面DEFPA平面DEF(2）为中点 为中点 ,DEEF，DE平面ABCDE平面BDE， 平面BDE平面ABC17（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结(1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；(2)若，求椭圆离心率e的值【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力。 满分14分。（1），椭圆方程为（2）设焦点关于x轴对称，三点共线,即，即联立方程组，解得C在椭圆上,，化简得，
5、故离心率为18（本小题满分16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，（1）求新桥BC的长;（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力。满分16分。解法一：(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.
6、由条件知A（0, 60),C（170, 0)，直线BC的斜率kBC=tanBCO=。又因为ABBC，所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a,b),则kBC=kAB=解得a=80，b=120. 所以BC=.因此新桥BC的长是150 m。（2)设保护区的边界圆M的半径为rm，OM=d m，(0d60)。由条件知，直线BC的方程为，即由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d)到直线BC的距离是r，即。因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得故当d=10时,最大，即圆面积最大.所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.解法二：（1）如图，延长OA, CB交于点F。因为
7、tanBCO=.所以sinFCO=，cosFCO=.因为OA=60，OC=170，所以OF=OCtanFCO=.CF=,从而.因为OAOC,所以cosAFB=sinFCO=,又因为ABBC,所以BF=AF cosAFB=，从而BC=CFBF=150.因此新桥BC的长是150 m.（2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MDBC，且MD是圆M的半径,并设MD=r m，OM=d m(0d60）.因为OAOC,所以sinCFO =cosFCO,故由(1）知,sinCFO =所以。因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得故当d=10时，最大,即圆面积最大.所以当OM
8、= 10 m时,圆形保护区的面积最大.19（本小题满分16分）已知函数其中e是自然对数的底数（1）证明：是上的偶函数；(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在，使得成立试比较与的大小,并证明你的结论【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力。满分16分.（1)，是上的偶函数（2）由题意,，即，即对恒成立令，则对任意恒成立,当且仅当时等号成立（3），当时，在上单调增令，,，即在上单调减存在，使得，即设，则当时，,单调增;当时，,单调减因此至多有两个零点，而当时,，；当时,，;当时，20（本
9、小题满分16分)设数列的前n项和为若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称是“H数列”（1）若数列的前n项和，证明:是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列和，使得成立【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.（1）当时，当时，时,，当时，是“H数列（2）对，使，即取得，,又,，（3）设的公差为d令,对，对，则，且为等差数列的前n项和，令,则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对,都可找到，使成立，即为“H数列”的前项和,令，则对，是非负
10、偶数,即对,都可找到,使得成立，即为“H数列”因此命题得证.数学（附加题）21。【选做题】本题包括A， B,C，D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A。【选修41:几何证明选讲】(本小题满分10分) 如图，AB是圆O的直径,C、 D是圆O 上位于AB异侧的两点 证明:OCB=D。本小题主要考查圆的基本性质,考查推理论证能力。满分10分。证明：因为B， C是圆O上的两点，所以OB=OC。 故OCB=B。 又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点, 故B,D为同弧所对的两个圆周角， 所以B=D。 因此OCB
11、=D.B.【选修42:矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵,，向量,为实数，若，求的值【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.，由得解得C。【选修4-4:坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）,直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力。满分10分。直线l：代入抛物线方程并整理得交点,，故D。【选修45：不等式选讲】(本小题满分10分）已知x0, y0，证明:（1+x+y2）(1+x2+y）9xy.本小题主要考查算术一几
12、何平均不等式。考查推理论证能力.满分10分。证明:因为x0, y0, 所以1+x+y2，1+x2+y，所以（1+x+y2）(1+x2+y）=9xy。【必做题】第22题、第23题,每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22（本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为,随机变量X表示中的最大数,求X的概率分布和数学期望22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随
13、机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力。满分10分。（1)一次取2个球共有种可能情况,2个球颜色相同共有种可能情况取出的2个球颜色相同的概率(2）X的所有可能取值为，则X的概率分布列为X234P故X的数学期望23(本小题满分10分)已知函数,设为的导数，（1）求的值；（2）证明：对任意的，等式成立23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力。满分10分。(1)解：由已知，得于是所以故（2)证明:由已知，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.（i）当n=1时，由上可知等式成立。(ii)假设当n=k时等式成立, 即.因为,所以.所以当n=k+1时,等式也成立。综合（i)，（ii)可知等式对所有的都成立。令,可得（).所以（)。
