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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷)理 科 数 学本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分， 共150分。 考试用时120分钟. 第卷1至2页, 第卷3至5页. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上， 答在试卷上的无效。 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！ 第卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后， 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共8小题, 每小题5分， 共40分. 参考公式： 如果事件A
2、， B互斥, 那么棱柱的体积公式V=Sh,其中S表示棱柱的底面面积， h表示棱柱的高. 如果事件A, B相互独立, 那么球的体积公式其中R表示球的半径. 一选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1） 已知集合A = xR |x2， A = xR x1, 则（A） （B） 1，2(C) 2，2(D） 2，1（2) 设变量x， y满足约束条件则目标函数z = y2x的最小值为（A） 7(B） 4(C) 1（D） 2（3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序， 若输入x的值为1， 则输出S的值为（A） 64(B） 73（C） 512（D) 585(4） 已知下列三个命题
3、： 若一个球的半径缩小到原来的， 则其体积缩小到原来的;若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等； 直线x + y + 1 = 0与圆相切. 其中真命题的序号是：(A) （B) (C）（D） (5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A， B两点, O为坐标原点。 若双曲线的离心率为2， AOB的面积为， 则p = （A) 1(B） (C) 2（D) 3(6) 在ABC中， 则 = （A) （B） (C) （D) （7) 函数的零点个数为（A） 1(B） 2（C） 3（D) 4(8) 已知函数. 设关于x的不等式的解集为A， 若, 则实数a的取值范围是（A） （B) （C） （
4、D） 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷）理 科 数 学第卷注意事项:1。 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共12小题, 共110分.二填空题： 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. （9) 已知a， bR, i是虚数单位。 若(a + i）（1 + i) = bi, 则a + bi = 。（10) 的二项展开式中的常数项为.(11） 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C， 点P的极坐标为， 则CP = 。(12） 在平行四边形ABCD中， AD = 1， ， E为CD的中点。 若, 则AB的长为.（13） 如图， ABC为圆的内接三角形， BD为圆的弦，
5、 且BD/AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E， AD与BC交于点F. 若AB = AC， AE = 6， BD = 5, 则线段CF的长为。（14） 设a + b = 2， b0, 则当a = 时, 取得最小值. 三解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。 (15） （本小题满分13分)已知函数。 （） 求f(x）的最小正周期； () 求f(x）在区间上的最大值和最小值.（16) （本小题满分13分）一个盒子里装有7张卡片， 其中有红色卡片4张， 编号分别为1, 2, 3， 4； 白色卡片3张, 编号分别为2， 3， 4。 从盒子中任取4
6、张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同）. (） 求取出的4张卡片中， 含有编号为3的卡片的概率。 （) 再取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望。 (17） (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCDA1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD， AB/DC， ABAD， AD = CD = 1， AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点。 (） 证明B1C1CE; （） 求二面角B1CEC1的正弦值。 （) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为， 求线段AM的长。 (18） (本小题满分13分)设椭圆的左
7、焦点为F， 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为。 （) 求椭圆的方程； () 设A， B分别为椭圆的左右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点。 若, 求k的值。 (19） (本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列， 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5， S4 + a4成等差数列. （) 求数列的通项公式； （） 设, 求数列的最大项的值与最小项的值。(20） (本小题满分14分)已知函数. （） 求函数f(x）的单调区间； (） 证明: 对任意的t0， 存在唯一的s, 使. (） 设(）中所确定的s关于t的函数为， 证明: 当时， 有.
