§2.3 数列极限存在的条件(一)在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了数列极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当充分大时，能充分接近其极限，故可用作为的近似值.本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.从收敛数列的有界性可知：若收敛，则为有界数列；但反之不一定对，即有界不足以保证收敛.例如.但直观看来，若有界，又随n的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）.为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列.一、单调数列定义 若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列．例如：为递减数列；为递增数列；不是单调数列.二、单调有界定理问题 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了.此即下面的极限存在的判断方法.定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限. 即：(1) 若数列递增且有上界，则。
2) 若数列递减且有下界，则几何解释 单调数列只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点沿数轴移向无穷远；（2）无限趋于某一个定点，即.证明 不妨设单调增加有上界，把看作集合，有确界原理，存在即：（1），；（2），使,由于单调增加，故当，时有即当时 亦即 .例1 ，证明数列，，，……，，……收敛，并求其极限.证明 1） 单调性：（归纳法）当时有，设时有，，则，从而，即成立下证有上界. （归纳法）1) . 2) 设3) 时，故有界即极限存在.设，对等式两边取极限，则有因为正数列，故，因此取即为所求极限.例2 求（为一定数，）解 记，则且，，则，当时 ，故后，单调递减，又有 极限一定存在，设为,由 ，两边取极限得（）.例3 求 ( 计算的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).解 由均值不等式, 有有下界,注意到对有 有单调减，设，则例4 若，且，，则Proof 由,所以单调减又由，由归纳法可得，从而有下界 设，则，或（不合，因为单调减）例5 设，且，，，则.Proof 显然有.,则..又.由得.§2.3 数列极限存在的条件(二)例6 证明: 数列单调增加,数列单调减少,两者收敛于同一极限.证明: 记, ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 中, 令 就有, 即单调减少,且.由，故有相同的极限。
记例7 证明：若，则数列收敛证明：由例6知，两边取对数得，即，则称为欧拉(Euler)数三、柯西收敛准则(一) 引言单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则.(二) Cauchy收敛准则定理（Cauchy收敛准则） 数列收敛的充分必要条件是：对任给的，存在正整数Ｎ，使得当时有.证明 必要性 收敛，则存在极限，设，则＞0， 时，有当时有 Cauchy列、基本列（满足Cauchy收敛准则的数列）Cauchy收敛准则的另一表示形式：＞0， 时，对有 .(三) 说明1、 Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题.2、 Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.3、 Cauchy准则把定义中与的之差换成与之差.其好处在于无需借助数列以外的数，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.例8 如数列满足，且，证明数列收敛.证明 令， .故由Cauchy收敛准则知数列收敛. 例9 证明数列发散.证明 要证：，且，但。
设则 ，因此，如，则.这样，对，则，且 ，这说明不是一个Cauchy数列. 例10 证明: 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列收敛. 其中是中的数.证明 令 有 ……例11 求下列极限 附 数列单调有界证法欣赏:Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.证法一 （ Riemann最先给出这一证法 ） 设 应用二项式展开，得 ，+ 注意到 且比多一项 即↗. 有界.综上, 数列{}单调有界.评注 该证法朴素而稳健, 不失大将风度. 证法二 ( 利用Bernoulli不等式 ) 注意到Bernoulli不等式 为正整数 ), 有 由 利用Bernoulli不等式,有 ↗.为证{}上方有界, 考虑数列 可类证↘. 事实上, (此处利用了Bernoulli不等式 ) ↘.显然有 有 即数列{}有上界.评注 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 中, 令 就有 即 ↗.令 可仿上证得 时↗, ( 时无意义, 时诸=, 不能用均值不等式. ) 当时, 由 由 ↗ ↘. < 4.评注 该证法很奇巧. 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P22.证法四 ( 仍利用均值不等式 ) 即 ↗.有界性证法可参阅上述各证法.评注 该证法以简单而奇妙见长. 证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1 马德尧文“均值不等式妙用两则”.证法五 先证明：对 和正整数，有不等式 事实上， < 该不等式又可变形为 ( 为正整数 )在此不等式中, 取 则有 就有 ↗.取 又有 对成立， 又由 评注 该证法真叫绝.教材采用这一证法. 可参阅《The American Mathematical Monthly》 1974. Vol 81. №9 P10—11。