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1、 第 二 章 随机变量及其分布随机变量及其分布西南交通大学希望学院概率论与数理统计西南交通大学希望学院概率论与数理统计21 1 随机变量随机变量 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了示，由此就产生了随机变量随机变量的概念的概念.1、有些试验结果本身与数值有关、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数本身就是一个数).例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；八月份杭州的最高温度；八月份杭州的最高温度；每天从杭州下火车的人数；每天从杭州下火车的人数；一、随机变量的概念和例一、随机变量的概念和例32、在有些试验
2、中，试验结果看来与数值无关，但我、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 例例1 1 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.我们引入记号：我们引入记号：显然，该试验有两个可能的结果：显然，该试验有两个可能的结果：于是我们就可以用于是我们就可以用表示出现的是正面，表示出现的是正面，而用而用表示出现的是反面。表示出现的是反面。X就是一个随机变量。就是一个随机变量。4 定义定义 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S，若对于每若对于
3、每一个一个S, 有一个实数有一个实数X(e)与之对应与之对应, 即即X=X()是是定义在定义在S上的单值实函数，称它为上的单值实函数，称它为随机变量随机变量(random variable, 简记为简记为r.v.)。X()R 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？数一样吗？.5（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于）由于试验结果的出现具有一
4、定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率值也有一定的概率. 随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母 等表示等表示. 随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点随机变量则是一种动态的观点.6 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变究，就由对事件及事件概率的研究
5、扩大为对随机变量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论。对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论。分类：分类：实际中遇到的随机变量有实际中遇到的随机变量有两大类型两大类型连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量7第二节第二节8如果随机变量如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值，只取有限或可列无穷多个值，一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律则称则称X为为离散型随机变量离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？）
6、所有可能的取值是什么？2）取每个可能值的概率是多少？）取每个可能值的概率是多少？称之为离散型随机变量称之为离散型随机变量X的的分布律分布律或或概率分布概率分布。9或写成如下的表格形式：或写成如下的表格形式：10 袋中有袋中有2 2只蓝球只蓝球3 3只红球，非还原抽取只红球，非还原抽取3 3只，只，记记X为抽得的蓝球数，求为抽得的蓝球数，求X的分布律。的分布律。X可能取的值是可能取的值是0,1,2，例例1 1解解所以所以X的分布律为的分布律为 或表示为或表示为11 设设一一汽汽车车在在开开往往目目的的地地的的路路上上需需经经过过三三组组信信号号灯灯，每每组组信信号号灯灯以以0.5的的概概率率允允
7、许许或或禁禁止止汽汽车车通通过过。以以X表表示示该该汽汽车车首首次次遇遇到到红红灯灯前前已已通通过过的的路路口口的的个个数数(设设各各盏盏信信号号灯灯的的工工作作是是相相互互独独立立的的)，求求X的的概概率分布率分布.依题意依题意, X可取值可取值0, 1, 2, 3.设设 Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3路口路口3路口路口2路口路口1例例2 2解解12路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口113路口路口3路口路口2路口路口1不难看出不难看出所以所以X的分布列为的分布列为 14 在在下下列列情情形形下下，求求其其中中的的未未知知常常数数a，已已知知随随
8、机机变量的概率分布为：变量的概率分布为： 例例3 3解解 (1) (1) 由规范性由规范性, ,(2)(2)15二、常见离散型随机变量的分布律二、常见离散型随机变量的分布律若试验若试验 E 满足条件：满足条件：(1) (1) 各次试验独立进行；各次试验独立进行；将试验将试验 E 重复重复n次次, , 则称为则称为n重重伯努利试验伯努利试验。 例如，打靶命中或不命中；抛硬币出现正面例如，打靶命中或不命中；抛硬币出现正面或反面；抽检产品抽到正品或次品，等等，都可或反面；抽检产品抽到正品或次品，等等，都可以视为伯努利试验。以视为伯努利试验。(2) (2) 每次试验只有两种结果：事件每次试验只有两种结
9、果：事件A发生或不发生，发生或不发生， 伯努利伯努利( (Bernoulli) )试验试验( (独立重复试验独立重复试验) ) P P242416背景：作一次伯努利试验的成功次数背景：作一次伯努利试验的成功次数X所服从的分布所服从的分布. .分布律为分布律为或用公式表示或用公式表示( (一一) 0-1) 0-1分布分布17 某射手命中率为某射手命中率为0.80.8，独立射击，独立射击3 3次，求恰好命次，求恰好命中中2 2次的概率。次的概率。 例例4 4解解则恰好命中则恰好命中2 2次的概率为次的概率为 背景：作背景：作n次伯努利试验的成功次数次伯努利试验的成功次数X所服从的分布所服从的分布.
10、 .( (二二) ) 二项分布二项分布(Binomial Distribution)由可加性由可加性由由独独立立性性18若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为定义定义则称则称X服从参数为服从参数为n, ,p的的二项分布二项分布， 记为记为验证规范性：验证规范性： 19例例5 5 某人打靶某人打靶, ,命中率为命中率为p=0.8,=0.8,独立重复射击独立重复射击5 5次次, ,求：求： (1) (1) 恰好命中两次的概率；恰好命中两次的概率； (2) (2) 至少命中两次的概率；至少命中两次的概率； (3) (3) 至多命中四次的概率。至多命中四次的概率。解解 设设X为命中数，为命中数，
11、(1(1) )(2(2) )(3(3) )20解解例例6 6 假设有假设有10台设备，每台的可靠性台设备，每台的可靠性( (无故障工作的概无故障工作的概率率) )为为0.90，每台出现故障时需要由一人进行调整问，每台出现故障时需要由一人进行调整问为保证在为保证在95% %的情况下当设备出现故障时都能及时得的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？到调整，至少需要安排几个人值班？ 出故障机器台数出故障机器台数 因此，至少需要安排因此，至少需要安排3个人值班个人值班 21问题：问题：若有若有200200台设备呢？台设备呢？ 需中心极限定理解决。需中心极限定理解决。解解出故障
12、机器台数出故障机器台数 因此，至少需要安排因此，至少需要安排3个人值班个人值班 22解解例例7 7 ( (保险事业保险事业) )若一年中某类保险者的死亡率为若一年中某类保险者的死亡率为0.005。现有。现有1万人参加这类保险，试求在未来一年万人参加这类保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，中在这些保险者里面，(1)(1)有有40人死亡的概率；人死亡的概率；(2)(2)死亡人数不超过死亡人数不超过70人的概率。人的概率。 死亡人数死亡人数 (1(1) )(2(2) )计算相当复杂，下面介绍一个实用的近似公式。计算相当复杂，下面介绍一个实用的近似公式。 23证略证略. .24解解例例8 8 假如
13、生三胞胎的概率为假如生三胞胎的概率为10- -4，求在求在10万次生育万次生育中，恰有两次生三胞胎的概率。中，恰有两次生三胞胎的概率。 10万次生育中生三胞胎的次数万次生育中生三胞胎的次数 直接用伯努利公式计算得直接用伯努利公式计算得 用泊松近似公式，用泊松近似公式， 可见（当可见（当n非常大时）近似程度令人满意。非常大时）近似程度令人满意。 25定义定义 若随机变量若随机变量X的概率分布为的概率分布为 验证规范性：验证规范性： 则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布, ,记为记为麦克劳林公式麦克劳林公式( (三三) ) 泊松分布泊松分布(Poisson Distribution
14、)26泊松分布的实际背景：泊松分布的实际背景：最简流、随机质点流最简流、随机质点流。 例如，到达商店的顾客，暴雨，交通事故，例如，到达商店的顾客，暴雨，交通事故，大震后的余震，到达某港口等待进港的货轮，纺大震后的余震，到达某港口等待进港的货轮，纺纱机上的断头纱机上的断头所形成的随机质点流所形成的随机质点流 分布参数的概率意义：分布参数的概率意义： 是是单位时间出现的随机单位时间出现的随机质点的平均个数质点的平均个数27例例9 9 通过某十字路口的汽车数服从泊松分布。若通过某十字路口的汽车数服从泊松分布。若平均平均5秒钟有秒钟有1辆汽车通过辆汽车通过, ,求求1010秒钟内通过的汽车秒钟内通过的
15、汽车不少于不少于2辆的概率。辆的概率。 解解设设X为为10秒内通过的汽车数，秒内通过的汽车数， 28例例1 10 0 某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，每月销售量服从泊松分布，每月销售量服从泊松分布，= = 7 7，问在月初进货时问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分的概率充分满足顾客的需要？满足顾客的需要？ 解解销售量销售量 设至少库存设至少库存N件，则件，则 经计算，必须取经计算，必须取N= =16。 29( (四四) ) 几何分布几何分布 在贝努利试验中，每次成功的概率为在贝努利试验中，每次
16、成功的概率为p，若记若记X为首次成功时所做的试验数，则为首次成功时所做的试验数，则X服从的概率分服从的概率分布称为布称为几何分布几何分布： 验证规范性：验证规范性： 30例例1 11 1 某人有某人有n把钥匙，仅有一把能打开门，随机把钥匙，仅有一把能打开门，随机选一把试开，开后放回，直至打开为止，求第选一把试开，开后放回，直至打开为止，求第s次次才打开门的概率才打开门的概率. .解解开门次数开门次数X服从几何分布，服从几何分布， 313 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 为了对各类随机变量作统一研究，下面给出为了对各类随机变量作统一研究，下面给出既适合于离散型随机变量又适合于连续型随机变既适合于离散型随机变量又适合于连续型随机变量的概念量的概念随机变量的分布函数。随机变量的分布函数。 定义定义 设设X为随机变量，称实函数为随机变量，称实函数 为为X的的分布函数分布函数。 xax b32分布函数的基本性质：分布函数的基本性质： 设设X为离散型随机变量，分布律为为离散型随机变量，分布律为 则则33例例1 1解解设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为: : 求求X的分布函数的分布
