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1、第2课时 指数函数及其性质的应用类型类型 一一 指数函数的图象变换问题指数函数的图象变换问题 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013吉林高一检测吉林高一检测) )函数函数 (0a1)(0a1)的图象的大致形的图象的大致形状是状是( )( )2.2.画出下列函数的图象，并说明它们是由函数画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y y2 2x x的图象经的图象经过怎样的变换得到的过怎样的变换得到的(1)y(1)y2 2x x1 1.(2)y.(2)y2 2x x1.(3)y1.(3)y2 2|x|x|.(4)y.(4)y2 2x x. .【解题探究解题探究】1.1.当函数解析式中含有绝对值
2、符号时，处理函当函数解析式中含有绝对值符号时，处理函数图象问题的一般思路是什么？数图象问题的一般思路是什么？2.2.已知函数已知函数f(xf(x) )的图象，如何用变换的方法画出函数的图象，如何用变换的方法画出函数f(xf(xa)a)(a(a0),f(x)0),f(x)b(bb(b0),f(|x|),-f(x)0),f(|x|),-f(x)的图象的图象? ?探究提示：探究提示：1.1.一般思路：去绝对值符号，化为分段函数处理一般思路：去绝对值符号，化为分段函数处理. .2.2.由函数由函数f(xf(x) )的图象画函数的图象画函数f(xf(xa)(aa)(a0)0)的图象，遵循的图象，遵循“左
3、左加右减加右减”的法则；画函数的法则；画函数f(x)f(x)b(bb(b0)0)的图象的图象, ,遵循遵循“上加上加下减下减”的法则的法则; ;画函数画函数f(|xf(|x|)|)的图象，可将函数的图象，可将函数y=y=f(xf(x) )，y y轴轴右侧的图象沿右侧的图象沿y y轴翻折到轴翻折到y y轴左侧替代轴左侧替代y y轴左侧的图象，并保留轴左侧的图象，并保留y=y=f(xf(x) )在在y y轴右侧部分的图象；画函数轴右侧部分的图象；画函数- -f(xf(x) )的图象，根据的图象，根据f(xf(x) )的图象与的图象与- -f(xf(x) )的图象关于的图象关于x x轴对称画出轴对称
4、画出. .【解析解析】1.1.选选D.D.当当x x0 0时，时，y=ay=ax x(0a1)(0a1)；由此可以画出函数在由此可以画出函数在y y轴右侧的图象轴右侧的图象. .当当x x0 0时，时，y=-ay=-ax x(0a1).(0a0,a1)0,a1)常见的两种图象变换常见的两种图象变换(1)(1)平移变换平移变换( (0),0),如图如图1 1所示所示. .(2)(2)对称变换对称变换, ,如图如图2 2所示所示. .2.2.两类常见的翻折变换两类常见的翻折变换(1)(1)函数函数y=|y=|f(xf(x)|)|的图象可以将函数的图象可以将函数y=y=f(xf(x) )的图象的的图
5、象的x x轴下方轴下方部分沿部分沿x x轴翻折到轴翻折到x x轴上方，去掉原轴上方，去掉原x x轴下方部分，并保留轴下方部分，并保留y=y=f(xf(x) )的的x x轴上方部分即可得到轴上方部分即可得到. .(2)(2)函数函数y=y=f(|xf(|x|)|)的图象可以将函数的图象可以将函数y=y=f(xf(x) )的图象右侧部分沿的图象右侧部分沿y y轴翻折到轴翻折到y y轴左侧替代原轴左侧替代原y y轴左侧部分并保留轴左侧部分并保留y=y=f(xf(x) )在在y y轴右轴右侧部分即可得到侧部分即可得到. .【变式训练变式训练】要得到函数要得到函数y=8y=82 2x x的图象，只需将函
6、数的图象，只需将函数y=( )y=( )x x的图象的图象( )( )A.A.向右平移向右平移3 3个单位个单位 B.B.向左平移向左平移3 3个单位个单位C.C.向右平移向右平移8 8个单位个单位 D.D.向左平移向左平移8 8个单位个单位【解析解析】选选A.yA.y=8=82 2x x=( )=( )3 3( )( )x x=( )=( )x x3 3，将函数将函数y=( )y=( )x x的图象向右平移的图象向右平移3 3个单位可以得到函数个单位可以得到函数y=( )y=( )x x3 3，即函数，即函数y=8y=82 2x x的图象的图象. .类型类型 二二 指数函数单调性的综合应用指
7、数函数单调性的综合应用 【典型例题典型例题】1.1.函数函数 的定义域为的定义域为_._.2.2.比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：(1)(1)(2)1.9(2)1.90.30.3与与1.91.92.32.3. .(3)(3)【解题探究解题探究】1.1.利用指数函数的单调性求解不等式的依据是利用指数函数的单调性求解不等式的依据是什么？什么？2.2.利用函数的单调性比较两个数的大小的根据是什么？利用函数的单调性比较两个数的大小的根据是什么？探究提示：探究提示：1.1.对于形如对于形如a af(xf(x) )a ag(xg(x) )( (或或a af(xf(x) )a ag(xg(x)
8、) )的不等式，当的不等式，当a a1 1时，转时，转化为化为f(xf(x) )g(xg(x)()(或或f(xf(x) )g(xg(x););当当0 0a a1 1时，转化为时，转化为f(xf(x) )g(xg(x)()(或或f(xf(x) )g(xg(x).).2.2.若函数若函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间D D上是增函数，则对于任意的上是增函数，则对于任意的x x1 1，x x2 2DD，由由x x1 1x x2 2可得可得f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )，反之亦然；若函数，反之亦然；若函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间D D上上是减函数，则对于任意的是
9、减函数，则对于任意的x x1 1，x x2 2DD，由，由x x1 1x x2 2可得可得f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )，反之亦然，反之亦然. .【解析解析】1.1.由由3 32x2x1 1 0 0得得3 32x2x1 1332 2. .因为函数因为函数y=3y=3x x在在R R上是增函数上是增函数, ,所以所以2x2x112 2故故xx所以函数所以函数 的定义域为的定义域为 +).+).答案：答案： +)+)2.(1)( )2.(1)( )0.240.24与与 可以看作函数可以看作函数y=( )y=( )x x的两个函数值的两个函数值. .由由于于0 0 1 1，所以指数
10、函数，所以指数函数y=( )y=( )x x在在R R上是减函数上是减函数. .因为因为0.240.24 所以所以( )( )0.240.24(2)1.9(2)1.90.30.3与与1.91.92.32.3可以看作函数可以看作函数y=1.9y=1.9x x的两个函数值的两个函数值. .由于底数由于底数1.91.91 1，所以指数函数，所以指数函数y=1.9y=1.9x x在在R R上是增函数上是增函数. .因为因为0.30.32.32.3，所以，所以1.91.90.30.31.91.92.32.3. .(3)(3)因为函数因为函数y=( )y=( )x x在在R R上是减函数，上是减函数，所以
11、所以 ( )( )0 0=1,=1,因为函数因为函数y=( )y=( )x x在在R R上是增函数，上是增函数，所以所以 ( )( )0 0=1,=1,所以所以【拓展提升拓展提升】1.1.指数型不等式的解法和注意事项指数型不等式的解法和注意事项(1)(1)指数型不等式指数型不等式a af(xf(x) )a ag(xg(x) )的解法：的解法：当当a a1 1时，时，f(xf(x) )g(xg(x) )；当当0 0a a1 1时，时，f(xf(x) )g(xg(x).).(2)(2)注意将不等式两边的底数进行统一：注意将不等式两边的底数进行统一：如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变
12、形，如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形，此时常用到以下结论此时常用到以下结论:1=a:1=a0 0(a(a0,0,且且a1)a1)，a a-x-x=( )=( )x x(a(a0 0且且a1)a1)等等. .2.2.比较幂值大小的三种类型及处理方法比较幂值大小的三种类型及处理方法【变式训练变式训练】(2013(2013漳州高一检测漳州高一检测) )设设a=2a=20.30.3,b=0.3,b=0.32 2, ,c=( )c=( )1.51.5，则，则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是( )( )A.aA.abc bc B.bB.bcacaC.cC.cba ba D.
13、bD.bacac【解题指南解题指南】解答本题首先要注意选用中间量解答本题首先要注意选用中间量“1 1”，然后，然后要注意将要注意将c=( )c=( )1.51.5进行恰当的变形进行恰当的变形. .【解析解析】选选D.cD.c=( )=( )1.51.5=2=21.51.5，2 20.30.3与与2 21.51.5可以看作函数可以看作函数y=2y=2x x的两个函数值的两个函数值. .由于底数由于底数2 21 1，所以指数函数所以指数函数y=2y=2x x在在R R上是增函数上是增函数. .因为因为0 00.30.31.51.5，所以，所以1=21=20 02 20.30.32 21.51.5，
14、即，即a ac.c.又又b=0.3b=0.32 2=0.09=0.091 1，所以，所以bac.bac.类型类型 三三 指数函数性质的综合应用问题指数函数性质的综合应用问题 【典型例题典型例题】1.1.已知函数已知函数 为奇函数，则为奇函数，则m m的值等于的值等于_._.2.(20132.(2013福州高一检测福州高一检测) )已知函数已知函数(1)(1)证明证明f(xf(x) )为奇函数为奇函数. .(2)(2)判断判断f(xf(x) )的单调性，并用定义加以证明的单调性，并用定义加以证明. .(3)(3)求求f(xf(x) )的值域的值域. .【解题探究解题探究】1.1.若函数若函数f(
15、xf(x) )是奇函数且是奇函数且f(0)f(0)有意义，则有意义，则f(0)f(0)的值是多少？的值是多少？2.(1)2.(1)判断函数奇偶性的基本步骤是什么？判断函数奇偶性的基本步骤是什么？(2)(2)定义法证明函定义法证明函数单调性的基本步骤是什么？数单调性的基本步骤是什么？(3)(3)分式型函数如何进行恰当变分式型函数如何进行恰当变形后可以更容易求值域？形后可以更容易求值域？探究提示：探究提示：1.1.若函数若函数f(xf(x) )是奇函数且是奇函数且f(0)f(0)有意义，则有意义，则f(0)=0.f(0)=0.2.(1)2.(1)先求定义域，再判断先求定义域，再判断f(f(x)x)
16、与与f(xf(x) )是否相等或互为相反是否相等或互为相反数数. .(2)(2)定义法证明函数单调性的基本步骤定义法证明函数单调性的基本步骤: :设元、作差、变形、判号、下结论设元、作差、变形、判号、下结论. .(3)(3)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子( (或分母或分母) )含含有未知数的形式更容易求值域有未知数的形式更容易求值域. .【解析解析】1.1.函数函数 为定义在为定义在R R上的奇函数，上的奇函数， 即即 m=1.m=1.答案：答案：1 12.(1)2.(1)由题知由题知f(xf(x) )的定义域为的定义域为R,R,所以所以f(xf(x) )为奇函数为奇函数. .(2)f(x)(2)f(x)在定义域上是增函数在定义域上是增函数. .证明如下：任取证明如下：任取x x1 1,x,x2 2R,R,且且x x1 1x x2 2, ,xx1 1x x2 2,f(xf(x2 2) )f(xf(x1 1),f(x),f(x)为为R R上的增函数上的增函数. .(3)(3)33x x0 0 3 3x x+1+11 1 0 0 2 2 -
