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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高级微观经济学习题 第一片面：消费者理论 一、形式化表述分析消费者偏好的性质 （完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等） 二、效用函数存在性证明 请参考教材 三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。 考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为p1?（2，4）时，其需求为x1?（1，2）。当价格为p2?（6，3）时，其需求为x2?（2，1），该消费者是否得志显示性偏好弱公理。 假设x2?（1.4，1）时，该消费者是否得志显示性偏好弱公理。 解答：p1x1?2*1?4*2?10?p1x2?2*2?4*1?8 消费束1偏
2、好于消费束2 p2x1?6*1?3*2?12?p2x2?6*2?3*1?15 消费束2偏好于消费束1 违反了显示性偏好弱公理。 假设x2?（1.4，1）时： p1x1?2*1?4*2?10?p1x2?2*1.4?4*1?6.8 消费束1偏好于消费束2 p2x1?6*1?3*2?12?p2x2?6*1.4?3*1?11.4 消费束1在价格2的处境下买不起。符合显示性偏好弱公理。 四、效用函数u(x1,x2)?x1，求瓦尔拉斯需求函数 解答：maxu(x1,x2)?x1s.t.p1x1?p2x2?w从效用函数u(x1,x2)?x1可知商 品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是全体的收入都用于添
3、置商品1，对商品2的需求为0，x2?0，x1?或者由maxu(x1,x2)?x1maxu(x1,x2)?maxw p1s.t.p1x1?p2x2?w,可得到 w?p2x2ww?，此时x2?0，x1?(源于消费束的非负限制) p1p1p1实际上，这是一个边角解， 1 x2 x1 1 五、效用函数u(x1,x2)?(x1?x2)?，对其求 1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数； 2、希克斯需求函数，支出函数。 答案： 1、x1?p1wp1?11?1?p2?1，x2?p1wp2?11?1?p2?1，v(p1,p2,w)?w(p1?1?p2u?1)?1? 2、h1?up1(p1?11?1?p2?11，h
4、2?up2(p1?11?1)?p2?11，e(p,u)?)?(p1?1?p2?11? )?（形式可能不一样） 六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。 请参考教材 七、证明对偶原理中的1.x(p,w)?hp,v(p,w)2.h(p,u)?xp,e(p,u) 请参考教材 八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集X：Bp,w?x?X：p?x?w。假定p,w?0。证明：假设X是一个凸集，那么Bp,w也是凸集。 请参考教材 九、效用函数u(x1,x2)?x1x2，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。 请参考教材
5、 1十、效用函数u(x1,x2)?(x1?x2)?，求其货币度量的直接和间接效用函数。 1?答案：w(p,x)?(x1?x2)?(p1?1?p2?1)?1? 2 ?1?1?(p；q,w)?(p1?1?p2?1)(q1?1?q20?1)?w 011十一、效用函数u(x1,x2)?x1x2，当p1?2,p2?3,w?40，p1?4,p2?5，求其等价变化和补偿变化。 答案： ?(p；q,w)?p1p2310?1)，CV?40(1?) w，EV?40(103q1q2十二、分析福利分析在税收方面的应用。 请参考教材 十三、u(x1,x2)?x1x2，假定p1?0.25，p2?1，w?2，对商品1开征消
6、费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种处境）。 解答：max u(x1,x2)?x1x2 s.t. x1p1?x2p2?w 1求瓦尔拉斯需求函数 （1）建立拉格朗日函数 L?x1x2?(w-p1x1-p2x2) （2）求极值一阶条件 ?L1?11 (a) ?x12x22?p1?0?x12?L11?1?x12x22?p2?0 (b) ?x22?L?w?p1x1?p2x2?0 (c) ?由(a)和(b)整理得： (x(x2x1)x212121)=p1p2?x2p=1 x1p2（3）瓦尔拉斯需求函数 p1p1分别将x2=x1，x1=x2代入预算约束(c)，有 p2p2 3 wwx1= x2
7、= 2p12p22求间接效用函数 将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数u(x1,x2)=x1x2，有 v(p1,p2,w)?(3求支出函数 w12w12w)()?1212 2p12p22p1p2由间接效用函数，求反函数w得： w=2p112p212v(p1,p2,w) e(p,u)=2p112p212u 4求希克斯需求函数 法一：将支出函数 代入瓦尔拉斯需求函数xi=w，得到 2pih1?p1数。 12p2u h2?p112p212u 12法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函 5求货币度量的效用函数 （1）货币度量的直接效用函数 1212e(p,u)=2pp由12u，有
8、w(p,x)=2p112p212u(x1,x2)=2p112p212x1x2 （2）货币度量的间接效用函数 ?(p;q,w)?2p112p212v(q1,q2,w)?p112p212q1?12q2?12w 6下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。 0p10=0.25，p2=1， 11p1=0.25+0.25，p2=1 4 w1=w0=w=2 等价变化分析： u0?v(p1,p2,w)?1100w2(p1)12(p2)12w1100?2?2 12122(0.25)(1)u1?v(p1,p2,w)?2(p1)12(p2)12?2?2 12122(0.5)(1)按照征税前的价格计算的，消费者对征
9、收消费税前后所获得效用的变化： 01Ev?e(p0,u1)?e(p1,u1)=e(p,u)-w =(p0;p1,w)-w ?p?p?p?p?0112021211_2111_22w?w ?0.25?1?0.5?1?2?2?0.5858 1212_12_12商品税与收入税对消费者的福利之差为: (?T)?Ev(p0;p1,w)?th(p1,u1)?Ev(p0;p1,w) ?0.25?(p1)12(p2)12u1?0.5858?0.25?(0.5)12(1)122?0.5858?0.0858说明商品税对消费者的福利影响更差。 补偿变化分析： 按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化： 11Cv?e(p0,u0)?e(p1,u0)=w-e(p1,u0) =w-(p1;p0,w) ?w?p?p?p?p?1112121210_2110_22w _12?2?0.5?1?0.25?1?2?0.8284 1212_12商品税与收入税对消费者的福利之差为: -T?Cv(p1;p0,w)?th(p1,u0)?Cv(p1;p0,w) ?0.25?(p1)12(p2)12u0?0.8284?0.25?(0.5)12(1)12?2?0.8284?0.7074?0.8284=0.1213 5 11 6
