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1、2020福建考研数学三真题及答案一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1) 设lim f (x) - a = b,则lim sin f (x) - sin a = ()xax - axax - a(A). b sin a(B). b cos a(C). b sin f (a)(D). b cos f (a)【答案】B【解析】lim sin f (x) - sin a = lim sin f (x) - sin a f (x) - a = cos f (x) b = b cos f (a)xax - axaf (x) - ax
2、 - ax=a 设 f (x) = u ,则lim sin f (x) - sin a = limsin u - sin a = cos u= cos f (a)xaf (x) - au f (a)u - au = f (a)lim sin f (x) - sin a = lim sin f (x) - sin a f (x) - a = lim sin f (x) - sin a lim f (x) - a 则 xax - axaf (x) - ax - axa=b cos af (x) - axax - a(2) 函数 f (x) =(A).1(B).2(C).31ex-1 ln 1+ x
3、(ex -1)(x - 2),则第二类间断点个数为( )(D).4【答案】C【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义,判断间断点及类型的一 般步骤为:1. 找出无定义的点(无意义的点);2.求该点的左右极限;3.按照间断点的定义判 定。第二类间断点的定义为 f- (x0 ), f+ (x0 ) 至少有一个不存在,很显然 f (x) 不存在的点为x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 。在 x = -1 处, limx-1-f (x) = -, limx-1+f (x) = - ;在 x = 0 处,limx0-f (x) = limx0+f (x)= - 1 ;2e
4、1在 x = 1 处, lim ex-1 = 01, lim ex-1 = + , lim f (x) = 0 , lim f (x) = - ;x1-在 x = 2 处, limx2-x1+f (x) = - , limx2+x1-f (x) = + ;x1+所以,第二类间断点为 3 个。(3) 对奇函数 f (x) 在(-, + ) 上有连续导数,则()(A). cos f (t) + f (t)dt 是奇函数x0(B). cos f (t) + f (t)dt 是偶函数x0(C). x cos f (t) + f (t)dt 是奇函数00(D). x cos f (t) + f (t)d
5、t 是偶函数【答案】:A【 解析】 f (x)为奇函数, 则其导数 f (x)为偶函数,又 cos x 为偶函数,则 cos f (x) = cos f (-x),则cos f (x) 为偶函数,故cos f (x) + f (x)为偶函数,以 0 为下限、被积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以,本题选 A ;对于C和D 选项, f (x) 为偶函数,则cos f (x) = cos f (-x) 为偶函数, f (x) 为奇函数,则cos f (x) + f (x)既非奇函数又非偶函数。(4).已知幂级数 na (x - 2)n 的收敛区间为(-2, 6) ,则 a (x + 1)2n
6、 的收敛区间为nn=1nn=1(A).(-2,6)(B).(-3,1)(C).(-5,3)(D).(-17,15)【答案】Ba(x + 1)2n+ 2a【解析】由比值法可知,幂级数收敛时, lim n+1= lim n+1 (x + 1)2 1na (x + 1)2nn a则要求 a (x + 2)2n 的收敛区间,只需要求出limnnan+1 an的值即可,nn=1nn而条件告诉我们幂级数 na (x - 2)n 的收敛区间为(-2, 6) ,即收敛半径为 4limn= lim(n + 1)an+1 nannn=1n + 1 an+1 nanan+1 an= lim= 1n4an+1 an则
7、lim(x + 1)2n = 1 (x + 1)2 1 ,即-3 x 1n4所以本题选B 。(5) 设 4 阶矩阵 A = (aij ) 不可逆,a12 的代数余子式 A12 0 ,1 , 2 , 3 , 4 为矩阵 A 的列向量组,A* 为 A 的伴随矩阵,则 A* x = 0 的通解为()(A) x = k11 + k22 + k33(C) x = k11 + k23 + k34(B) x = k11 + k22 + k34(D) x = k12 + k23 + k34【答案】(C)【解析】 A = (a ) 不可逆知, A = 0 及r( A) 4 ;由 A 0 知 A* O 且 , ,
8、 线性无关(无ij12134关组的延长组仍无关),故r( A) = 3 及r( A* ) = 1 ,故 A* x = 0 的基础解系含有 3 个向量。由A* A =A E = O 知, A 的列向量均为 A* x = 0 的解,故通解为 x = k + k + k 。1 12 33 4(6) 设 A 为 3 阶矩阵,1, 2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量,3 为 A 的特 100 征值-1的特征向量。若存在可逆矩阵 P ,使得 P -1 AP = 0-10 ,则 P 可为()(A) (1 + 3 , 2 , -3 )(C) (1 + 3 , -3 , 2 ) 001 (B)
9、(1 + 2 , 2 , -3 )(D) (1 + 2 , -3 , 2 )【答案】(D)【解析】因为1, 2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量,故1 + 2 , 2 仍为特征值1的两个线性无关的特征向量;因为3 为 A 的特征值-1的特征向量,故-3 仍为特征值-1的特征向量,因为特征向量与特征值的排序一一对应,故只需 P = (1 + 2 , -3 , 2 ) , 100 就有 P -1 AP = 0-10 。(7) 001 P(A) = P(B) = P(C ) = 1 , P(AB) = 0, P(AC ) = P(BC ) = 1412,则 A, B, C 恰好发生一个
10、的概率为()(A). 34(B). 23(C) . 12(D). 512【答案】(D)【解析】P( ABC) + P( ABC) + P( ABC)= P( A IB UC) + P(B IA UC) + P(C IA U B)= P( A) - P( AB) - P( AC) + P( ABC) + P(B) - P( AB) - P(BC) + P( ABC)+ P(C) - P( AC) - P(BC) + P( ABC)又 ABC AB , P( ABC) P( AB) = 0原式 = 1 - 1412+ 1 - 1412+ 1 - 1 - 1 = 54121212(8) .若二维随机
11、变量(X ,Y ) 服从- 1 ,则下列服从标准正态分布且与 X 独立的N 0,0;1,4;2是()(A).(B).(C).(D).5 ( X + Y )55 ( X - Y )53 ( X + Y )33 ( X - Y )3【答案】(C)【解析】由二维正态分布可知 X N (0,1) ,Y N (0,4) , r XY= - 12DXDYD( X + Y ) = DX + DY + 2r XY= 3 ,所以 X + Y N (0,3) ,3 (X + Y ) N (0,1)3DXDY又cov(X , X + Y ) = cov(X , X ) + cov(X ,Y ) = DX + r X
12、Y= 0所以 X 与3 (X + Y )独立3二、填空题:914 小题,每小题 4 分,共 24 分(0,)(9) z = arctan ( xy + sin(x + y) ,则dz= .(0,)【答案】dz= ( -1)dx - dy【解 析】 dz =dxy + cos(x + y)1+ ( xy + sin(x + y)2, dz =dyx + cos(x + y)1+ ( xy + sin(x + y)2,将 x = 0, y = 带入 可知 ,(0,)dz= ( -1)dx - dy(10) 已知曲线满足 x + y + e2 xy = 0 ,求曲线在点(0, -1) 处的切线方程【答案】 y = x -1【解析】在 x + y + e2 xy = 0 两侧同时对 x 求导有1+ dy +e2 xy (2 y + 2x dy ) = 0 ,将 x = 0, y = -1 带入dxdx可知dy = 1,所以切线方程为 y = x -1 dx(11) 设产量为Q ,单价为 P ,厂商成本函数为C(Q) = 100 +13Q ,需求函数为Q(P) =求厂商取得最大利润时的产量