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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年中考数学冲刺讲义二次函数与圆综合附答案 第四讲：二次函数与圆综合 中考要求 板块 考试要求 B级要求 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上熟悉函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； A级要求 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； C级要求 1.能用二次函数解决简朴的实际问题； 2.能解决二次函数与其他学识结合的有关问题； 二次函数 例题精讲 一、二次函数与圆综合 【例1】 已知：抛物线M:y?x2?(m?1)
2、x?(m?2)与x轴相交于A(x1，0)B(x2，0)两点， 且x1?x2 （）若x1x2?0，且m为正整数，求抛物线M的解析式； （）若x1?1，x2?1，求m的取值范围； （）试判断是否存在m，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C(0，2)，若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由； M:y?x2?(m?1)x?(m?2)（）若直线l:y?kx?b过点F(0，）中的抛物线M相交于P，Q两点，且使7)，与（ 求直线l的解析式 【解析】（）解法一：由题意得，x1x2?m?2?0 解得，m?2 m为正整数，m?1y?x2?1 解法二：由题意知，当x?0时，y?02?(m?1)?0?(m?2)?0
3、 （以下同解法一） 解法三：?(m?1)2?4(m?2)?(m?3)2， ?(m?1)?(m?3)?x?，?x1?1，x2?2?m 2又x1x2?0，（以下同解法一） ?x2?2?m?0m?2解法四：令y?0，即x2?(m?1)x?(m?2)?0， (x?1)(x?m?2)?0，（以下同解法三） x1?1，x2?2?m（）解法一： x1?1，x2?1，?x1?1?0，x2?1?0 PF1?，FQ2，即x1x2?(x1?x2)?1?0 x1?x2?(m?1)，x1x2?m?2， (m?2)?(m?1)?1?0解得：m?1 m的取值范围是m?1 解法二：由题意知，当x?1时， y?1?(m?1)?
4、(m?2)?0 解得：m?1 m的取值范围是m?1 解法三：由（）的解法三、四知，x1?1，x2?2?m 2?m?1 x1?1，x2?1，m?1m的取值范围是m?1 yyQ2ODABOxC(0,2)QFP27PP1OQ1x （）存在 解法一：由于过A，B两点的圆与y轴相切于点C(0，2)，所以A，B两点在y轴的同侧， x1x2?0 由切割线定理知，OC2?OAOB， 即22?x1x2x1x2?4， x1x2?4.m?2?4.?m?6 解法二：连接O?B，O?C圆心所在直线x?设直线x? bm?11?m， ?2a221?m与x轴交于点D，圆心为O?， 21?m那么O?D?OC?2，O?C?OD?
5、 2AB， AB?x2?x1?(m?3)2?m?3，BD?2m?3BD? 2在RtO?DB中， O?D2?DB2?O?B2 ?m?3?1?m?即2?解得 m?6 ?2?2?2222（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么y1?x12?1，y2?x2?1 过P，Q分别向x轴引垂线，垂足分别为P0)Q(x2，0) 那么PP1(x1，1FO1 POPF所以由平行线分线段成比例定理知，1? OQ1FQ0?x11?，即x2?2x1 因此， x2?02过P，Q分别向y轴引垂线，垂足分别为P2(0，y1)，Q2(0，y2)， PFFP那么PP22所以FP2PFQ2Q?2? FQ2FQ2?21?2(x1
6、2?1)?x2?1.7?y11?21?2y1?y2 22y2?72?23?2x1?4x1?1.?x12?4，?x1?2，或x1?2 当x1?2时，点P(2，3)直线l过P(2，3)F(0，7)， ?7?k?0?b，?b?7， 解得? ?3?k?2?b.k?2.?当x1?2时，点P(?2，3)直线l过P(?2，3)F(0，7)， ?7?k?0?b，?b?7， 解得? ?k?2.3?k?(?2)?b.?故所求直线l的解析式为：y?2x?7，或y?2x?7 【例2】 已知抛物线y?ax2?bx?c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 y?x?2并且线段CM的长为22 （1）求抛物线的解析式。
7、 （2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的 长。 （3）若以AB为直径作N，请你判断直线CM与N的位置关系，并说明理由。 【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=x2与y轴交于点C（0,2）抛物线y?ax2?bx?c过点C （0,2）， ?b4ac?b2?2所以c=2，抛物线y?ax?bx?c的顶点M?,?在直线CM上， 2a4a?4a?2?b2b所以?2，解得b?0或b?2 4a2a1?1若b?0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b?2即M?,2? a?a过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在Rt?CMQ中，CM2?CQ2?QM2 11
8、1所以，8?()2?2?(2?)2，解得，a?。 aa211所求抛物线为：y?x2?2x?2或y?x2?2x?2以下同下。 22解法二：由题意得C(0,2),设点M的坐标为M(x,y) y?x?2 点M在直线y?x?2上， 由勾股定理得CM?x2?(y?2)2，CM?22 x2?(y?2)2=22，即x2?(y?2)2?8 ?x1?2?x2?2?y?x?2解方程组?2，得，? ?2y?4y?0x?(y?2)?8?1?2M(?2,0)或M(2,0) 当M(?2,4)时，设抛物线解析式为y?a(x?2)2?4，抛物线过(0,2)点， 11a?，y?x2?2x?2 22当M(2,0)时，设抛物线解析
9、式为y?a(x?2)2 11抛物线过(0,2)点，a?，y?x2?2x?2 2211所求抛物线为：y?x2?2x?2 或y?x2?2x?2 22（2）抛物线与x轴有两个交点， 1y?x2?2x?2不合题意，舍去。 21抛物线应为：y?x2?2x?2 21抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，由?x2?2x?2?0，得 2AB?x1?x2?42 （3）AB是N的直径，r =22 ， N（2，0），又M（2，4），MN = 4 设直线y?x?2与x轴交于点D，那么D（2，0），DN = 4，可得MN = DN， ?MDN?45?，作NGCM于G，在Rt?NGD中，NG?DN?sin45?22=
10、r 即圆心到直线CM的距离等于N的半径直线CM与N相切 【例3】 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A，抛物线 2O，A两点 y?ax?bx?经过c试用含a的代数式表示b； 设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两片面若将劣弧沿 x轴翻折，翻折后的劣弧落在D内，它所在的圆恰与OD相切，求D半径的长及抛物线的解析式； 设点B是得志(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的片面上是否存在这样的点 4P，使得POA?OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 3yyPDmOAxDOAxEnDBxBDPOEAy【解析】解
11、法一：一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A 点A的坐标为(4，0) 抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 c?0，16a?4b?0，b?4a 解法二：一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A 点A的坐标为(4，0) 抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 抛物线的对称轴为直线x?2 bb?4a x?2， 2a由抛物线的对称性可知，DO?DA 点O在D上，且?DOA?DAO 又由(1)知抛物线的解析式为y?ax2?4ax ?4a) 点D的坐标为(2，当a?0时， 如图1，设D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，鲜明OnA 所在的圆与D关于x轴对称，设它的圆心为
12、D 点D与点D也关于x轴对称 点O在D上，且OD与D相切 点O为切点，DO?OD ?DOA?DOA?45? ?ADO为等腰直角三角形，OD?22 ?4a?2 点D的纵坐标为?2， 1a?，b?4a?2 21抛物线的解析式为y?x2?2x 2当a?0时， 同理可得：OD?22 1抛物线的解析式为y?x2?2x 2121x?2x或y?x2?2x 224 抛物线在x轴上方的片面上存在点P，使得POA?OBA 3设点P的坐标为(x,y)，且y?0 综上，D半径的长为22，抛物线的解析式为y?12x?2x上时(如图2) 2点B是D的优弧上的一点 14OBA?ADO?45?，POA?OBA?60? 23EP过点P作PE?x轴于点E， tanPOE?OEy?tan60?，y?3x x?y?3x?x1?4?23?x2?0?，?由?解得：(舍去) ?12y?0?y?x?2x?y1?6?43?2?2当点P在抛物线y?6?43 点P的坐标为4?23，?1当点P在抛物线y?x2?2x上时(如图3)，同理可得，y?3x 2?y?3x?x2?0?x1?4?23，由?解得：(舍去) ?12y?0y?x?2x?y1?6?43?2?2 8
