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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高中数学第二章推理与证明211合情推理学业分层测评含解析新人 2.1.1 合情推理 学业分层测评 (建议用时：45分钟) 学业达标 一、选择题 1(2022厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示： 图2-1-7 按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A6n2 C6n2 B8n2 D8n2 【解析】 查看易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的片面需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的片面需要火柴棒6根?由此可推测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n1个“金鱼”图
2、需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列，易求得通项公式为an6n2. 【答案】 C 2数列3,7，11,15，?的通项公式可能是( ) Aan4n7 Ban(1)(4n1) Can(1)(4n1) Dan(1) n1nn(4n1) n【解析】 当数列中负项、正项交替展现时，用(1)来操纵；若是正项、负项交替展现，那么用(1) n1 来操纵 【答案】 C 3定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应以下4个图形： 图2-1-8 那么以下4个图形中， 可以表示A*D，A*C的分别是( ) A(1)，(2) C(2)，(4) B(1)，(3) D(1
3、)，(4) 【解析】 由可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，A*D是(2)，A*C是(4) 【答案】 C 4以下推理正确的是( ) A把a(bc)与loga(xy)类比，那么loga(xy)logaxlogay B把a(bc)与sin(xy)类比，那么sin(xy)sin xsin y C把(ab)与(xy)类比，那么(xy)xy D把(ab)c与(xy)z类比，那么(xy)zx(yz) 【解析】 A错误，由于logaxlogaylogaxy(x0，y0)； B错误，由于sin(xy)sin xcos ycos xsin y
4、； C错误，如当n2时，若xy0，那么(xy)x2xyyxy； D正确，类比的是加法、乘法的结合律 【答案】 D 5给出以下等式： 19211， 1293111， 123941 111， 1 2349511 111， 12 34596111 111， ? 推测123 45697等于( ) A1 111 110 C1 111 112 B1 111 111 D1 111 113 2 2 2 2 2 nnnnn【解析】 由题中给出的等式推测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111. 【答案】 B 二、填空题 6已知 8 2 22 32，33 3383，84 44 154，?.若15 8 at
5、a(a，t均为正实数)，类比以上等式，可揣测a，t的值，那么at_. t2 【解析】 由所给等式知，a8，t8163，at71. 【答案】 71 11135 7设n为正整数，f(n)1?，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3， 23n22查看上述结果，可揣测一般的结论为_. 3456 【解析】 f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，由此可揣测一般性的结论 2222为f(2) nn2 2 . n【答案】 f(2) n2 2 8对于命题“假设O是线段AB上一点，那么|OB|OA|OA|OB0”，将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBCOASOCAOBSOBAOC
6、0，将它类比到空间的情形应为：若 O是周围体ABCD内一点，那么有 _ 【解析】 根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成周围体的体积，故可以类比为 VO-BCDOAVO-ACDOBVO-ABDOCVO-ABCOD0. 【答案】 VO-BCDOAVO-ACDOBVO-ABDOCVO-ABCOD0 三、解答题 9平面中的三角形和空间中的周围体有好多相类似的性质，例如在三角形中： (1)三角形两边之和大于第三边 1 (2)三角形的面积S底高 2 1 (3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的. 2? 请类比上述性质，写出空间中
7、周围体的相关结论 【解】 由三角形的性质，可类比得空间周围体的相关性质为： (1)周围体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 1 (2)周围体的体积V底面积高 3 1 (3)周围体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的. 4 10某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2-1-9(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简朴的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越美丽，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律一致)，设第n个图形包含f(n)个小正方形 图2-1-9 (1)求出f(5)； (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n1)与f(n)的关系式，并根据你得
8、到的关系式求f(n)的表达式 【解】 (1)f(1)1，f(2)5，f(3)13，f(4)25， f(5)254441. (2)f(2)f(1)441， f(3)f(2)842， f(4)f(3)1243， f(5)f(4)1644， 由上式规律得出f(n1)f(n)4n. f(2)f(1)41， f(3)f(2)42， f(4)f(3)43， ? f(n1)f(n2)4(n2)， f(n)f(n1)4(n1) f(n)f(1)412?(n2)(n1) 2(n1)n， f(n)2n2n1. 才能提升 2 1查看以下各式： 11， 2343， 345675， 456789107， ? 可以得出的
9、一般结论是( ) An(n1)(n2)?(3n2)n Bn(n1)(n2)?(3n2)(2n1) Cn(n1)(n2)?(3n1)n Dn(n1)(n2)?(3n1)(2n1) 【解析】 查看已知等式，第n个等式左边都是2n1个数相加，第1个数是n，等式右边是(2n1).由此可得一般结论为： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n(n1)(n2)?(3n2)(2n1)2，应选B. 【答案】 B 2已知x0，由不等式x2 1 3xx414xx4 x2，x22323，?xx22x22x* x我们可以得出推广结论：xnn1(nN)，那么a( ) A2n C3n 1 【解析】 x2 Bn Dn n2
10、axxx2， x1 3xx4 x22323. x22x22x4 xx4 ? a由此揣摩，xxn xn个 n所以an，选D. 【答案】 D nnnxnn1， 3在RtABC中，C90，ACb，BCa，那么ABC的外接圆半径为r a2b2 2 ， 将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：_. 【解析】 利用类比推理，可把RtABC类比为三棱锥P-ABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PAa，PBb，PCc时，其外接球半径为Ra2b2c2 2 . 【答案】 在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PAa，PBb，PCc，那么三棱锥P-ABC的外接球的半径为R a2b2c2 2 * 4如图2-
11、1-10所示为m行m1列的士兵方阵(mN，m2) 图2-1-10 (1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，?时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为an，归纳该数列的通项公式； (3)求a10，并说明a10表示的实际意义； (4)已知an9 900，问an是数列的第几项？ 【解】 (1)当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3,4,5，?时的士兵人数分别为12,20,30，?.故所求数列为6,12,20,30，?. (2)由于a123，a234，a345，?，所以揣摩an(n1)(n2)，nN. (3)a101112132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132. (4)令(n1)(n2)9 900，所以n98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列 * 10
