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1、2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数满足，(为虚数单位)，则( )ABCD32已知向量，夹角为， ，则( )A2B4CD3若表示不超过的最大整数(如，)，已知，则（ ）A2B5C7D84为比较甲、乙两名高二学生的数学素养
2、，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A乙的数据分析素养优于甲B乙的数学建模素养优于数学抽象素养C甲的六大素养整体水平优于乙D甲的六大素养中数据分析最差5已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABCD6若,则下列结论正确的是( )ABCD7如果，那么下列不等式成立的是（ ）ABCD8把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ）ABCD9集合，则( )ABCD10已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直
3、线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是ABCD11已知向量，则与的夹角为（ ）ABCD12有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A8B7C6D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是_.14如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为_.15
4、已知关于的方程在区间上恰有两个解，则实数的取值范围是_16我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设函数其中()若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;()已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.18（12分）金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生新生接待其实也是和社会沟通的一个平台校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名
5、学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求附：，其中0.050.010.0013.8416.63510.82819（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围.20（12分）已知函数，其导函数为，（1）若，求不等式的解集；（2）证明：对任意的，恒有.21（
6、12分）的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.22（10分）已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【答案解析】，故，故选A.2A【答案解析】根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.【题目详解】由于，故选：A.【答案点睛】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.3B【答案解析】求出，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可【题目详解】解：.，同理可得：；.；，.故是一个以周
7、期为6的周期数列，则.故选：B.【答案点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用4C【答案解析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【题目详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【答案点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.5D【答案解析】设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【题目详解】，由得，整理得，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.【答案点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考
8、查计算能力，属于基础题.6D【答案解析】根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【题目详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【答案点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.7D【答案解析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【题目详解】，.故选：D.【答案点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.8D【答案解析】试题分析：把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象；再将图象向右平移个单位，可得的图象，那么所得图象
9、的一个对称中心为，故选D.考点：三角函数的图象与性质.9A【答案解析】解一元二次不等式化简集合A，再根据对数的真数大于零化简集合B，求交集运算即可.【题目详解】由可得，所以，由可得,所以,所以，故选A【答案点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.10D【答案解析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，即得结果.【题目详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，故所求双曲线的方程为故选D【答案点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.11B【答案解析】由已知向量的坐标，利用
10、平面向量的夹角公式，直接可求出结果.【题目详解】解：由题意得，设与的夹角为，由于向量夹角范围为：，.故选：B.【答案点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.12A【答案解析】则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【题目详解】最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，从下往上第五层正方体的棱长为：，从下往上第六层正方体的棱长为：，从下往上第七层
11、正方体的棱长为：，从下往上第八层正方体的棱长为：，改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选：A.【答案点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【答案解析】先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.【题目详解】由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示长方体对角线长为，所以三棱锥外接球半径为，故所求外接球的表面积.故答案为：.【答案点睛】本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题.14【答案解析】由已知可得到圆锥的底面
12、半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【题目详解】设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图则，所以，解得，所以，由，得，解得.故答案为：【答案点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.15【答案解析】先换元，令，将原方程转化为，利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可求出【题目详解】因为关于的方程在区间上恰有两个解，令，所以方程在 上只有一解，即有 ，直线与 在的图像有一个交点，由图可知，实数的取值范围是，但是当时，还有一个根，所以此时共有3个根.综上实数的取值范围是.【答案点睛】
13、本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式16【答案解析】三视图还原如下图：，由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以，填。【答案点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 ()；()证明见解析【答案解析】()求导得到，解得答案.() ，故，在上单调递减，在上单调递增，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【题目详解】()，故，故.() ，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【答案点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.18（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析.【答案解析】（1）计算得到，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.【题目详解】（1）的观测值，有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关（2）根据分层抽样方法得：男生有人，女生有人，
