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1、韦达定理与整数根的问题专题知识结构图韦达定理与代数式求值第04讲 韦达定理与整数根问题 韦达定理与整数根问题94一 韦达定理与根的分布整数根问题一.韦达定理与代数式求值1 如果豳;靛升 =3甄字多耽的两根是工，达，那么解+总=-艺，笨就=三.（隐含的条件：成也：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设帛，阳是方程F一好什嚼=:的两个根，那么帛，一知=落此.如=呼.利用平方差公式、完全平方公式等对代数式进行变形，代入求值.二.韦达定理与根的分布在思=.并一轨自三o的条件下，我们有如下结论：当三喀领时，方程的两根必一正一负.假设-当李配那么此方程的正根不小于负根的绝对值；假设-电嗨螂,那么此
2、方程的正根小于负根的绝对值.心?：斯当上:腌:时，方程的两根同正或同负.假设上蝴:，那么此方程的两根均为正根；假设-巴串乱 那么此方程的两根均 掷绷绷为负根.更一般的结论是：假设盟，尤是*一船中工=：版合卿的两根（其中M叠.1）,且碑为实数，当思於：时，一般地： I“-fI”,解一痢耻扁一默冷电 磴,端啸雌I丁 ,| U-； 一蹴圾诜一哪城:呼就且：1国一啤叫一：U；u 耀0：冲:6:展押蹄，媪 冲蹄 U-； 一蹴圾诜一砌 且购一喻 + 但一蹴:喀# ：标脸蹄，独喘特殊地：当哪=四时，上述就转化为强/一淡;+整=鼬曲手:就有两异根、两正根、两负根的条件.其他有用结论：假设有理系数一元二次方程有
3、一根生-品，那么必有一根邺-退（绿，信为有理数）.假设物嚅领,那么方程缴F-淡;一禽=哪四字:酬必有实数根.假设锄 X 方程强/ 一谈计=：1融=卿不一定有实数根.假设彝+葡+0=：,那么傀F自居一旦=僦掇亭:脚:必有一根.k=1.（5）假设倒一自一%=:,那么傀F -疏T =?魏等群翱必有一根K= -II .三.整数根问题对于一元二次方程回/ 一瀛y怎=:蚪倒用聊的实根情况，可以用判别式,骗=& 一触据来判别，但是对于一个含参数 的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求 解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元
4、二次方程儆了觌-脸=酣知本螂有整数根，那么必然同时满足以下条件：1 .禺=狩一躯据为完全平方数；2-初信1 -中储=急礁或-初一 J澳一沏a =专电，其中蔽为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，那么只能保证方程有有理根（其中倒、自、匕均为有理数）.题模一韦达定理与代数式求值例1.1、设当阳是一元二次方程盟d-%一=:制的两个根，利用根与系数的关系，求以下各式的值:.即 tII 版 tII(1)嗝:一耳虬科一划(4) I.里-耳I例1.2、设实数。分别满足隰/鲁瀛”=：制，炉子励“膜=制并且或求现T镯川的值例1.3、解，解是一元二次方程的两个根，求图詈3对
5、的值题模二韦达定理与根的分布例2.1、一元二次方程-嫄.黑+觐詈定=觑.(1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此方程会有两个负根吗？为什么？例2.2、实数k为何值时,关于x的一元二次方程 _Q琥啰阑刊簿-硼=事(1)有两个正根？(2)两根异号，且正根的绝对值较大？(3) 一根大于3,一根小于3?. Tr | 人 | F例3.1、：关于居的一元二次方程楸d-塔拆-独相告第西-粤=瞰(楣为实数) 假设方程有两个不相等的实数根，求雕的取值范围；求证：无论雕为何值，方程总有一个固定的根；(3)假设为整数，且方程的两个根均为正整数，求翎的值及方程所有的根例3.2、关于相的方程S鲁啰-匐懈鲁贸
6、=制的两根都是整数，求缪的值.例3.3、求使关于x的方程峭鲁班d-岬/。腐子除产-场=:别的根均为整数的所有整数a.随堂练习随练1.1一元二次方程x2-2x+m=0.(1)假设方程有两个实数根，求m的范围；(2)假设方程的两个实数根为 X2,且4+3x2=3,求m的值.随练1.2、如果方程x2+px+q=0的两个根是X1,X2,那么X1+X2=-p, Xl x2=q,请根据以上结论，解决以下问题：(1)关于x的方程x2+mx+n=0, (nO),求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是方程两根的倒 数；(2) a、b 满足 a2-15a-5=0, b2-15b-5=0,求一+_ 的值；曲情(3
7、)a、b、c满足a+b+c=0, cbc=16,求正数c的最小值.函H随练1.3、假设蝎T,且有靖誓。二期及献矮蝌2,那么/ ，邮十厂金拗一境:顺随练1.4、翎是不等式组，二- 二的整数解，赧、解是关于瑞的方程陶-辎=:制的两个实根，求:成号蔺的值；献8号睇的值随练1.5、关于相的方程燃；-温詈曷=瞅的一个根大于1,另一个根小于1,求轴的取值范围.随练1.6、关于x的方程惬/-第一士 =，(m0)(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值.随练1.7、求出所有正整数蟀,使方程*鲁我鼬,-:U物”划=制至少有一个整数根.随练1.8、设关于x的二次方程
8、哲-籁遇；*告自泸-谶-枷*；泸=翱勺两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.能力拓展拓展1、当，.满是方程皆S-就；_=：副的两个根，不解方程，求以下代数式的值:(1)%:+婷 (2)厚-闻 (3)必普里端-料拓展2、关于墙的方程_解弱川=冽的两根处点满足条件够-睇=求贬的值.拓展3、方程詈的_勒=船的根是贫和总，方程/号:黑+掰=：别的根是初和磨.其中，督、趴 总、点为不同实 数，求贸、初、总、癖的值？拓展4、里阳(莲,嘴蜂)是方程S-螭-轴;詈的=瞰的两个实数根，期；茶是方程/含眸*加快-瞬=：制的两实 数根，且辱:-跳=幻网-叫=曾，求鹤萩的值？拓展5、关于修的方程一血代弊告第=：瓢的两根都大于5,求贸的取值范围.拓展6、方程鲤 1詈械+汾=领侬感:舸的两实根为不 范,方程触;入典皆哥=加的两实根为解、酣.(1)假设。、自均为负整数,且|陷-阈卜般 求环窗的值;(2)假设砒啜n%朝展鱼，铲得,求证：一前金嘴w%拓展7、/为常数，关于相的一元二次方程谭1-琥商鲁蝴-陶懈捐=:图的解都是整数，求盘的值.拓展8、黏是正整数，如果关于耨的方程产线贸+ 1可/+符-斓属-潼=制的根都是整数，求赧的值及方程的 整数根
