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1、第四节直线、平面垂直的判定与性质学习要求:1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义:直线l与平面内的 任意一条 直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直,则该直线与此平面垂直a、bab=Olalbl性质定理垂直于同一个平面的两条直线 平行 abab2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的
2、射影所成的 锐角 ,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0的角.如图所示, PAO 就是斜线AP与平面所成的角.(2)线面角的范围:0,2 .3.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线,则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条 垂线 ,则这两个平面互相垂直ll性质定理两个平面
3、垂直,则一个平面内垂直于它们 交线 的直线与另一个平面垂直=allal知识拓展1.与“直线与平面垂直”有关的结论(1)直线与平面垂直的定义常常逆用,即a,bab.(2)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.2.三垂线定理在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.3.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.1.判断正误(正确的打“
4、”,错误的打“”).(1)垂直于同一个平面的两平面平行.()(2)若直线a平面,直线b平面,则直线a直线b.()(3)若平面平面,直线a平面直线a平面.()(4)若直线a平面,直线b平面,则直线a与b垂直.()(5)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教A版必修第二册P152T2改编)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有对.答案73.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA=PB=PC,则点O是ABC的心;(2)若PAPB,PBP
5、C,PCPA,则点O是ABC的心.答案(1)外(2)垂4.(易错题)“直线a与平面内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面垂直”的条件.答案必要不充分【易错点分析】忽略线面垂直的条件致误.5.(2020课标理,16,5分)设有下列四个命题:p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p4:若直线l平面,直线m平面,则ml.则下述命题中所有真命题的序号是.p1p4p1p2p2p3p3p4答案直线与平面垂直的判定与性质角度一直线与平面垂直的判定典例1(2020江苏南通模拟)如图,在多面体ABCDEF中,四边
6、形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,EFAB,AB=2EF,平面BCF平面ABCD,BF=CF,点G为BC的中点.求证:(1)OG平面EFCD;(2)AC平面ODE.证明(1)四边形ABCD是菱形,ACBD=O,点O是BD的中点,点G为BC的中点,OGCD,又OG平面EFCD,CD平面EFCD,OG平面EFCD.(2)BF=CF,点G为BC的中点,FGBC.又平面BCF平面ABCD,平面BCF平面ABCD=BC,FG平面BCF,FG平面ABCD,AC平面ABCD,FGAC.OGAB,OG=12AB,EFAB,EF=12AB,OGEF,OG=EF,四边形EFGO为平行四边形,FGEO,ACE
7、O,四边形ABCD是菱形,ACDO,又EODO=O,EO,DO平面ODE,AC平面ODE.角度二直线与平面垂直的性质典例2如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)因为在平面ABD内,ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC
8、,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.名师点评证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法:判定定理;垂直于平面的传递性(ab,ab);面面平行的性质(a,a);面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直需借助线面垂直的定义.(3)判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明(1)PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,
9、PAAC=A,CD平面PAC.又AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.E是PC的中点,AEPC.由(1)知,AECD,PCCD=C,AE平面PCD.又PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,ABAD,ABPD.又ABAE=A,AB,AE平面ABE,PD平面ABE.2.(2020江苏南通模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,点E,F分别是侧棱PA,PC上的点,且EF底面ABCD.(1)求证:EFAC;(2)若PC底面ABCD,AC=3BC,ABC=60,求证:EFPB.证明(1)因为EF平面ABCD,EF平面PAC,
10、平面PAC平面ABCD=AC,所以EFAC.(2)在ABC中,因为AC=3BC,ABC=60,所以ACsin60=BCsinBAC,解得BAC=30.故ACB=90,即ACBC.又PC平面ABCD,AC平面ABCD,所以PCAC,又BC,PC平面PBC,且BCPC=C,所以AC平面PBC,因为PB平面PBC,所以ACPB.因为EFAC,所以EFPB.面面垂直的判定与性质角度一平面与平面垂直的判定典例3(1)(多选题)已知两条直线l,m及三个平面,下列条件中能推出的是()A.l,lB.l,m,lmC.,D.l,m,lm(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD
11、,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.求证:CE平面PAD;求证:平面EFG平面EMN.答案(1)ABC解析(2)证明:取PA的中点H,连接EH,DH.如图.因为E为PB的中点,所以EHAB,EH=12AB.又ABCD,CD=12AB,所以EHCD,EH=CD,所以四边形DCEH是平行四边形,所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD,所以CE平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,所以AB平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MNCD.又ABC
12、D,所以MNAB.所以MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.变式在本例(2)的条件下,求证:平面EMN平面PAC.证明因为ABPA,ABAC,且PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以AB平面PAC.因为M,N分别为PD,PC的中点,所以MNCD,又CDAB,所以MNAB,所以MN平面PAC.又MN平面EMN,所以平面EMN平面PAC.角度二平面与平面垂直的性质典例4(2019天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PCD为等边三角形,平面PAC平面PCD,PACD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求
13、证:GH平面PAD;(2)求证:PA平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.解析(1)证明:连接BD,易知ACBD=H,BH=DH.又BG=PG,故GHPD.又因为GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面PAD.(2)证明:取棱PC的中点N,连接DN.依题意,得DNPC.又因为平面PAC平面PCD,平面PAC平面PCD=PC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA.又已知PACD,CDDN=D,所以PA平面PCD.(3)连接AN,由(2)中DN平面PAC,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3.又DNAN,所以在RtAND中,sinDAN=DNAD=33.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.名师点评1.判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义.(2)面面垂直的判定定理.2.面面垂直性质的应用(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线
