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1、金山区2020学年高三第二学期质量监控数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟) 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1已知集合，集合，若，则= 2若关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则= 3不等式0的解集为 4若直线的参数方程为 （t为参数，tR），则在轴上的截距为 5若（a、bR，i为虚数单位），则a+b = 6某圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 7若正方形ABCD的边长为1，记，则 8一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，
2、从袋中随机摸出3个球，则摸出的3个球中至少有一个是白球的概率为_（结果用最简分数表示）9若首项为1、公比为的无穷等比数列的各项和为，表示该数列的前项和，则的值为 10函数（a1且a1）的图像恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0，其中m0，n0，则的最小值为 11若函数，其中x，则的最大值为 12已知向量与的夹角为60，且，若，其中，则向量在上的投影的取值范围为 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13函数（）的最小正周期为( )(A) (B) (C) (D)14下列命题为真命题的是( )(A) 若直
3、线l与平面上的两条直线垂直，则直线l与平面垂直(B) 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行(C) 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直(D) 若直线l上的不同两点到平面的距离相等，则直线l与平面平行15设A、B为圆上的两动点，且AOB=120，P为直线l：3x 4y 15=0上一动点，则的最小值为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 616已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为( )(A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分14分，第1小题满分5分，第2
4、小题满分9分) 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图，A- B- C- A为某区的一条健康步道，AB、AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB=km，AC=4km，(1) 求的长度；(2) 为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A- D- C（B，D在AC两侧），其中AD，CD为线段. 若，求新建的健康步道A- D- C的路程最多可比原有健康步道A- B- C的路程增加多少长度？（精确到）18(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 在长方体中，过、三点的
5、平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为(1) 求棱的长；(2) 求点到平面的距离19(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知抛物线的焦点为，半径为1的圆的圆心位于轴的正半轴上，过圆心的动直线与抛物线交于、两点，如图所示(1) 若圆经过抛物线的焦点，且圆心位于焦点的右侧，求圆的方程；(2) 是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出该定点的坐标，若不存在，则说明理由 20(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分) 在数列中，已知，()(1) 证明：数列为等比数列；(2) 记，数列的前项和为. 求使得的整数的最小值；(3
6、) 是否存在正整数、，且，使得、成等差数列？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由 21(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分) 设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”(1) 若函数为“函数”，求实数的值；(2) 若函数为“函数”，求实数的取值范围；(3) 已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值金山区2020学年第二学期期中考试高三数学试卷评分参考答案(满分：150分，完卷时间：120分钟) 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空
7、格内直接填写结果14； 20； 3x|0x1 或； 42； 51； 6；7； 8； 9； 108； 1122021； 12二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13B； 14B； 15C； 16D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分)解：(1) 联结，在ABC中，由余弦定理可得，3分所以=，即的长度为(km)；5分(2) 记AD=a，CD=b，则在ACD中，由余弦定理可得：，即，7分从而，
8、所以，当且仅当时，等号成立；11分新建健康步道的最长路程为8(km)，又(km),13分 故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加1.39(km)14分18(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：(1)设，由题设，2分得，即，解得5分故的长为；6分(2)以点为坐标原点，射线、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系由已知及（1），可知，9分设是平面的法向量，则，其中，则由即解得，取，得平面的一个法向量，且；12分在平面A1BC1上取点C1，可得向量，于是点D到平面的距离14分注：若利用体积等积法来解，则相应给分19(本题满分14分，第1小题
9、满分6分，第2小题满分8分)解：(1) 抛物线的焦点为，则圆心为，4分故圆的方程为，6分(2) 假设存在定点()满足题意，设直线，联立，消去，得，9分设、，则， 10分 当且仅当，即时，为定值，13分故存在，使得为定值14分20(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)(1) 证明：由，得，从而，又，故数列为等比数列； 4分(2) 解：由(1)得，故，所以，6分，令，则，解得，故使得的整数的最小值为10；9分 (3) 解：假设存在正整数、满足题意，则，即，即 (1)12分由得，；所以为奇数，而、均为偶数，故(1)式不能成立；即不存在正整数m、n、k，且mnk，使得、成等差数列.16分21(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)解：(1) 由为“函数”，得即，解得，故实数的值为；4分(2) 由函数为“G(1)函数”可知，存在实数，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)，即；6分由，得, 整理得. 当时，符合题意； 当时，由，即，解得且；8分综上，实数的取值范围是；9分(3) 由为“函数”，得，即，从而，10分不妨设，则由，即，12分得，令，则在区间上单调递增，14分又,16分如图，可知，故实数的最大值为1.18分高三数学 第 7 页 共 7 页
