高中物理临界问题的求解讲义

临界问题的求解临界问题是物理现象中的常见现象所谓临界状态就是物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，临界状态通常具有以下特点：瞬时性、突变性、关联性、极值性等临界状态往往隐藏着关键性的隐含条件，是解题的切入口，在物理解题中起举足轻重的作用求解临界问题通常有如下方法：极限法、假设法、数学分析法（包括解析法、几何分析法等）、图象法等极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”、“要使”等词语时，一般隐含着临界问题处理问题时，一般把物理问题（或过程）设想为临界状态，从而使隐藏着的条件暴露出来，达到求解的目的假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，解决办法是采用假设法，把物理过程按变化的方向作进一步的外推，从而判断可能出现的情况数学分析法；是一种很理性的分析方式，把物理现象转化成数学语言，用数学工具加以推导，从而求出临界问题，用这种分析方法一定要注意理论分析与物理实际紧密联系起来，切忌纯数学理论分析图象法：将物理过程的变化规律反映到物理图象中，通过图象分析求出临界问题下面列举的是高中物理各知识系统中典型的临界问题一、运动学中的临界问题例1、一列客车以速度V1前进，司机发现前方在同一轨道上有一列货车正在以速度V2匀速前进，且ViMV2,货车车尾与客车车头相距So,客车立即刹车做匀减速运动，而货车仍保持匀速运动。

求客车的加速度a符合什么条件两车才不会撞上？分析：这一类问题一般用数学方法（解析法）来求解若要客车不撞上货车，则要求客车尽可能快地减速，当客车的速度减小到与货车速度相等时两车相对静止，若以后客车继续减速，则两车的距离又会增大；若以后客车速度不变，则两车将一直保持相对静止可见，两车恰好相碰时速度相等是临界状态，即两车不相碰的条件是：两车速度相等时两车的位移之差△SWSo下面用两种方法求解解法一：以客车开始刹车时两车所在位置分别为两车各自位移的起点，一一1o则，客车：§=v〔t一一at,货车：s2=v2t,2两车不相撞的条件：v2=v1-at,s-s2

分析的方法可以用数学推导法，也可以用图象分析法等解法一：用数学推导法设摩托车加速运动时间为ti,匀速运动时间为t2,减速运动时间为t3,总时间为t,则：12vm二a〔ti二a2t3s—ai12,12S2-vmt2s3_~a2t3联立以上六式并代入数据得：t12-1.6tt1-1600=0要使以上方程有解，须判别式A>0,即：,，一、2△=(1.6t)-4x1600>0,所以t之50s,即最短时间为50s2故有：t1—80t1+1600=0,解得：t1=40s,t2=0,t3=10s可见摩托车从甲地到乙地先加速40s后紧接着减速10s达到乙地所用时间最短，匀速时间为零最大速度为：vm=a|t|=1.6M40m/s=64m/s解法二：用图象分析法建立如图1所示的图象，图象中梯形的“面积”即为甲乙两地的距离，在保证“面积”不变的情况下要使运动时间变小，只有把梯形变成三角形a1 L = a2 t2Vmt=t1t2联立以上三式得：最短时间为t =50s ,最大速度为vm=64m/s归纳：比较以上两种分析方法，图象法比解析法简单，是一种可取的方法二、平衡状态的临界问题例1、倾角为3=30度的斜面上放置一个重200N的物体，物体与斜面间的动摩擦因数为R=J3/3,要使物体恰好能沿斜面向上匀速运动，所加的力至少为多大？方向如何？分析；由于施力的方向没定，先假定一个方向：与斜面成a角向上，物体的受力分析如图2所示。

解：x方向：Fcosa=f+mgsin6fmg 图2其中联立以上三式求解得： F =mg/（cos-：：3mg2sin（二 +：P）中6 =600当a =300时F有极值:Fmin =100回例2、如图 角三角形ABC 连着的小环P、 范围是多少？3所示，用光滑的粗铁丝做成一个直,BC边水平，/ABC =a , AB及AC上分别套有用细绳Q当它们相对静止时，细线与 AB边所成的夹角 日的变化y方向：Fsina+N=mgcos日分析：题设中没有说明P、Q质量的大小，可用假设法来判断这个问题中可能出现的临界状态若Q的重力大于P的重力，则可不计P的重力，P的平衡转化为二力平衡，此时细绳的拉力与AB对环P的支持力几乎在同一直线上垂直于AB的方向，即日接近冗/2则可不计Q的重力，Q的平衡转化为二力Q支持力几乎在同一直线上垂直于 AC的若P的重力远大于Q的重力,平衡，此时绳的拉力与AC对环方向，即日接近a综上分析，日的变化范围是：光滑现对斜面体施加一水平推力F ,要使物体相归纳：对于平衡状态问题，正确进行受力分析是找到临界条件、寻找问题突破口的关键若题设中某些力是末知的， 可根据题设条件进行恰当而又合理的假设。

对斜面静止不动，力 F应为多大?（取g= 10m/s2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）分析：采用极限分析方法，把F推向两个极端来分析，当F很小时，物体将相对斜面下滑；当F很大时，物体将相对斜面上滑，因此F不能太小也不能太大，F的取值是一个范围解：设物体处于相对斜面下滑的临界状态推力为F,此时物体的受力情况如图5所示，则」Nsin二n'COcos?-ma对m：iNcosu'Nsin-mg=0对(m+M)：F=(M+m)a联立以上三式代入数据得：a=4.78m/s2,F=14.3N归纳：求解此类问题的关键点是正确进行受力分析，找出临临界条件，列出动学方程和平衡方程建立坐标系时，要注意以加速度方向为x正方向设物体处于相对斜面向上滑的临界状态，推力为F',此时物体的受力如图6所示，则」Nsin二'Ncos=ma对m：iNcosi-1Nsin-mg=0对(m+M)：F'=(M+m)a'联立三式并代入数据得：a'=11.2m/s2,7中哪个比较准确 )F'=33.6N所以推力的范围是：14.3NarctanN时，物体加速下滑,(4)当9=90°时，f=0,a=g,物体做自由落体运动。

综合以上几种假设易知D正确归纳：进行合理假设是找出问题的临介条件的重要手段例3、一物体由静止开始沿不同长度的光滑斜面滑到水平面上的B点，这些斜面的起点都在竖直墙壁处，如图8所示，已知B点距墙角的距离为b,要使小物体从斜面的起点滑到 B点所用的时间最短，求斜面的起点距地面的高度是多少？最短时间是多少？分析：用数学分析方法设小物体从A点沿倾角为则 AB长为：s = b/cos€,加速度为：a=gsin8,则有—b-」t2gsin ucos 1 2解得：t4b\ g sin 20由以上结果分析可知：当 e =45°即h =b时，下滑的时间最短，最时间为：0=2jb7g归纳：数学法是解题的重要工具例4、如图9所示，在竖直平面内有一固定点 O,点系一长为l的轻绳绳的另一端系一质量为 m的小球，把小球拉离平衡位置使绳与竖直方向的夹角为e（8 4兀/ 2）,然后让小球绕 o点在竖直平面内摆动， 现在点的正下方A点钉一铁钉，要使小球能摆到原来的高度，钉A与点的距离l x必须满足什么条件？分析：小球若能摆到最高位置，意味着小球达到最高 点时的速度为零小球的运动轨迹是圆周的一部分，那么 圆周上哪些位置小球的速度可能为零？先来分析这个问 题。

找圆周上三个特殊位置和二个一般位置来分析，这五 个位置的受力情况如图 10所示，对应的动力学方程为:则铁OA位置1：2 V1 GF1 —mg = m —①l位置2:F2 -mg cosi2v2=m— ②l位置3:2 v3F3 = m —3 lF51,I位置4:F4 mg cos-2=m- dlmgl图10位置5:2F5 mg =m^要使小球在竖直平面内做圆周运动，则绳对小球的拉力必须大于或等于零，即F之0,在1、2、3三个位置小球的速度可以为零，而在4、5位置小球的速度不能为零，否则小球将会离开圆周，若小球保持做圆周运动，由④⑤两式可知，当F=0时，有v>0由上面的分析可知；要使小球在圆周上运动，且在某点的速度等于零，则这些位置只能在圆周水平直径以下的这部分圆周上（包括水平直径的两个端点），在这个问题中，水平直径的两个端点就是临界点所以，该题中要求小球能摆到原来的高度，则钉子的位置与小球释放时的位置在同一等高线上是临界位置，钉子的位置只能在这一等高线以上，即lX

实际上，要使小球在绳子的拉力作用下能在竖直平面内做完整的圆周运动，必须具备的条件就是绳子的拉力大于或恰好等于零，由此可以得出小球达到最高点时v-gl这一速度临界条件四、振动和波中的临界问题例1、把一根长度为10cm的轻弹簧下端固定，上端连一个质量为m的物块P,在P的上面再放一个质量也是m的物块Q,系统静止后，弹簧的长度为6cm，如图11所示如果迅速撤去Q,物块P将在竖直方向做简谐运动，此后弹簧的最大长度是多少？分析：由题意可知在撤去Q后物块P将在竖直方向做简谐运动，即以平衡位置为中心做往复运动，找到平衡位置和确定振动的振幅是求解问题的关键：平衡位置在重力和弹力平衡的位置，由题设条件可知，K平衡位置在弹簧长度为8cm的位置；P刚开始运动时，弹-QP簧的长度是6cm,可知振幅是2cm根据对称性可知弹簧的最大长度为10cm0例2、质量分别为mA=2kg和mB=3kg的两物块A、W11B用轻弹簧相连后竖直放在水平面上，现用力F把物块向口下压而使之处于静止状态，如图12所示，然后突然撤去外力，要使物块B能离开地面，则压力F至少要为多大（设该过程在弹性限度内进行）？分析：先假设B是不动的，则撤去压力F后，A将在竖直平面内做简谐运动，平衡位置在弹簧压缩量为x0=m9的位置；若要物।k弓体B能被拉离地面，则弹簧至少要被拉长x=mg,可见AIAI物体的振幅为:B 图12。