1．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA于D．（1） 求证：CD是⊙O的切线；（2） 若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半径． （1）证明：连结OC．∵ OC=OA，∴ ∠OAC= ∠OCA∵ AC平分∠PAE，∴ ∠DAC= ∠OAC，∴ ∠DAC= ∠OCA，∴ AD∥OC．∵ CD⊥PA，∴ ∠ADC= ∠OCD=90°，即 CD⊥OC，点C在⊙O上，∴ CD是⊙O的切线． （2）解：过O作OE⊥AB于E．∴ ∠OEA=90°∵ AB=8，∴ AE=4． 在Rt△AEO中，∠AEO=90°，∴ AO2=42+OE2．∵ ∠EDC= ∠OEA=∠DCO =90°，∴ 四边形DEOC是矩形，∴ OC=DE，OE=CD．∵ AD:DC=1:3，∴ 设AD=x，则DC=OE=3x，OA=OC=DE=DA+AE=x+4，∴ (x+4)2=42+(3x)2，解得 x1=0(不合题意，舍去)，x2=1．则 OA=5．∴ ⊙O的半径是5． 2.如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 解：（1）AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接OA、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD3．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系为什么 解：BD=CD 理由是：如图，连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD4. 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）A．130° B．100° C．50° D．65° 答案A5．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．解：（1）CD与⊙O相切 ∵AB是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD是⊙O的切线． （2）在Rt△OCD中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．6．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a利用勾股定理，可得边心距OM==a ∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a27．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？解：（1）如图所示： ∵300= ∴R=30 ∴弧长L==20（cm）（2）如图所示： ∵20=20r ∴r=10，R=30 AD==20 ∴S轴截面=×BC×AD =×2×10×20=200（cm2）因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是200cm2．8.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．(1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．解：(1)不同类型的正确结论有： ①BE=CE ;②弧BD=弧CD ③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC; ⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC; (2)∵OD⊥BC， ∴BE＝CE=BC=4．设⊙O的半径为R，则OE=OD－DE=R－2． 在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R－2)2＋42=R2．解得R＝5． ∴ ⊙ O的半径为59.已知：如图等边内接于⊙O，点是劣弧PC上的一点（端点除外），延长至，使，连结．（1）若过圆心，如图①，请你判断是什么三角形？并说明理由．AOCDPB图①AOCDPB（2）若不过圆心，如图②，又是什么三角形为什么解：（1）为等边三角形． 理由：为等边三角形，又在⊙O中又 ． 又过圆心，， ， 为等边三角形． （2）仍为等边三角形理由：先证（过程同上） 又， 又 为等边三角形．10.(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE (2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗为什么(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么 解：(1)证明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA， ∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE(2)CE=CD仍然成立． ∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F，在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°． 连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE (3)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF 延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90° 连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE11.是⊙O的直径，切⊙O于，交⊙O于，连．若ABCPO，求的度数．解： 切⊙O于是⊙O的直径， ∴． ，∴．∴12.如图，四边形内接于⊙O，是⊙O的直径，，垂足为，平分．DECBOA（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，求的长．（1）证明：连接，平分，．．．． ，．．是⊙O的切线． DECBOA（2）是直径，．，． 平分，．． 在中，．在中，．的长是1cm，的长是4cm．13.如图，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.F解：连结AD． ∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD。
∴AB=AD，BF=FD，∴∠BAD=2∠BAC=60°，∴∠BOD=120°． ∵BF=AB=2，sin60°=， AF=AB·sin60°=4×=6∴OB2=BF2+OF2．即．∴OB=4．∴S阴影=S圆= （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴ ∴。